数学A / 図形の性質
円に内接する四角形
要点整理
円に内接する四角形とは
四角形ABCDの4つの頂点A, B, C, Dが、すべて1つの円周上にのっているとき、この四角形ABCDは円に内接するといいます。また、このとき円のほうは「四角形に外接する」といいます。
イメージとしては、円をかいてから、その円周上に4つの点を好きな順番でとり、それらを結んで四角形を作った状態です。円に内接する四角形には、辺の長さに関係なく、角度についてとても便利な性質が成り立ちます。
性質1:対角の和は180°
円に内接する四角形ABCDでは、次の関係がつねに成り立ちます。
$\angle A + \angle C = 180^{\circ}, \qquad \angle B + \angle D = 180^{\circ}$
ここで $\angle A$ は頂点Aにおける四角形の内角(角DABのこと)を表し、他の角も同じように「その頂点のところにできる四角形の内角」を表しています。$\angle A$ と $\angle C$ のように、辺を共有せずに向かい合っている角の組を「対角」と呼びます。
なぜこの性質が成り立つのか、確認してみましょう。
円の中心をOとし、対角線BDを引くと、円周は「点Aを通る側の弧BD」と「点Cを通る側の弧BD」の2つに分けられます。ここで、次の事実を使います。
円周上の1点から2点を見てできる角(これを「円周角」といいます)の大きさは、同じ弧に対する中心角の大きさのちょうど半分になる。
(この事実の詳しいしくみは、別のページ「円周角の定理」で丁寧に説明します。ここではこの事実を道具として使わせてもらいます。)
- 角A($\angle DAB$)は、点Aから弧BCD(点Cを通る側の弧BD)を見た円周角です。
- 角C($\angle BCD$)は、点Cから弧BAD(点Aを通る側の弧BD)を見た円周角です。
円周角は同じ弧に対する中心角の半分なので、
$\angle A = \frac{1}{2}(\text{弧BCDに対する中心角}), \qquad \angle C = \frac{1}{2}(\text{弧BADに対する中心角})$
と表せます。ここで、「弧BCDに対する中心角」と「弧BADに対する中心角」を足すと、円を1周する角度、つまり $360^{\circ}$ になります。したがって、
$\angle A + \angle C = \frac{1}{2}(\text{弧BCDの中心角}) + \frac{1}{2}(\text{弧BADの中心角}) = \frac{1}{2} \times 360^{\circ} = 180^{\circ}$
となり、対角の和が $180^{\circ}$ になることが確認できました。$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ も、対角線ACを引いて同じように考えれば示せます。
性質2:外角は、となり合う内角の対角に等しい
四角形ABCDの辺BCをCの方向に延長し、その延長線上の点をEとします。このとき、角DCE(角BCDのとなりにできる角)を、頂点Cにおける外角と呼びます。
円に内接する四角形では、次の性質が成り立ちます。
$\angle DCE = \angle A$
確認してみましょう。
B, C, Eは一直線上にあるので、角BCDと角DCEを合わせると一直線分の角、つまり $180^{\circ}$ になります。
$\angle BCD + \angle DCE = 180^{\circ} \quad \cdots ①$
一方、性質1より、
$\angle A + \angle BCD = 180^{\circ} \quad \cdots ②$
①と②は、どちらも「$\angle BCD$ を足すと $180^{\circ}$ になる」という形をしているので、
$\angle DCE = 180^{\circ} - \angle BCD = \angle A$
となります。つまり、外角は、そのとなりの内角から見て対角にあたる内角と等しくなるのです。これは性質1の言い換えにすぎないので、無理に丸暗記しなくても、性質1からいつでも導けます。
円に内接するための条件(逆の性質)
ここまでの性質1・性質2は「円に内接する四角形ならば、対角の和は180°になる」という向きの話でした。実は、逆も成り立つことが知られています。
- 四角形の1組の対角の和が $180^{\circ}$ ならば、その四角形は1つの円に内接する。
- 四角形の外角が、となり合う内角の対角と等しいならば、その四角形は1つの円に内接する。
この「逆」は、バラバラに置かれているように見える4点が、実は1つの円周上にある(これを「4点が共円である」ともいいます)ことを証明したいときに、とても役立ちます。
例題
例題1(基本)
問題
四角形ABCDは円に内接している。$\angle A = 70^{\circ}$、$\angle B = 95^{\circ}$ のとき、$\angle C$ と $\angle D$ の大きさをそれぞれ求めなさい。
解答・解説を見る
四角形ABCDは円に内接しているので、性質1「対角の和は $180^{\circ}$」が使えます。
角Aと角Cは対角なので、
$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$
この式に $\angle A = 70^{\circ}$ を代入します。
$70^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$
両辺から $70^{\circ}$ を引くと、
$\angle C = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$
同じように、角Bと角Dも対角なので、
$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$
この式に $\angle B = 95^{\circ}$ を代入します。
$95^{\circ} + \angle D = 180^{\circ}$
両辺から $95^{\circ}$ を引くと、
$\angle D = 180^{\circ} - 95^{\circ} = 85^{\circ}$
答え:$\angle C = 110^{\circ}$、$\angle D = 85^{\circ}$
(検算)四角形の内角の和はつねに $360^{\circ}$ になるという性質(中学校で学んだ内容)を使って確かめてみましょう。$70^{\circ} + 95^{\circ} + 110^{\circ} + 85^{\circ} = 360^{\circ}$ となり、確かに一致しています。このように計算結果を検算する習慣をつけると、ミスに気づきやすくなります。
例題2(標準)
問題
四角形ABCDは円に内接している。辺BCをCの方向に延長した点をEとする。$\angle DCE = 65^{\circ}$ のとき、$\angle A$ と $\angle BCD$ の大きさをそれぞれ求めなさい。
解答・解説を見る
$\angle A$ を求める
$\angle DCE$ は、頂点Cにおける内角 $\angle BCD$ のとなりにできる外角です。性質2「外角は、となり合う内角の対角に等しい」より、
$\angle DCE = \angle A$
が成り立ちます。したがって、
$\angle A = 65^{\circ}$
$\angle BCD$ を求める
B, C, Eは一直線上にあるので、$\angle BCD$ と $\angle DCE$ を合わせると一直線分の角、つまり $180^{\circ}$ になります。
$\angle BCD + \angle DCE = 180^{\circ}$
この式に $\angle DCE = 65^{\circ}$ を代入します。
$\angle BCD + 65^{\circ} = 180^{\circ}$
両辺から $65^{\circ}$ を引くと、
$\angle BCD = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}$
答え:$\angle A = 65^{\circ}$、$\angle BCD = 115^{\circ}$
(検算)性質1を使うと、$\angle A + \angle BCD = 65^{\circ} + 115^{\circ} = 180^{\circ}$ となり、対角の和がちゃんと $180^{\circ}$ になっています。このように、性質1と性質2は同じことを別の角度から言っているだけなので、どちらか一方だけを覚えておいて、もう一方はその場で導いても構いません。
例題3(応用)
問題
平行四辺形ABCDが1つの円に内接しているならば、この平行四辺形は長方形であることを証明しなさい。
解答・解説を見る
使う道具を確認する
この問題では、次の2つの事実を組み合わせて使います。
- 平行四辺形の対角は等しい(中学校で学んだ性質)。つまり $\angle A = \angle C$、$\angle B = \angle D$。
- 円に内接する四角形の対角の和は $180^{\circ}$(このページの性質1)。
証明
四角形ABCDは平行四辺形なので、対角はそれぞれ等しくなります。
$\angle A = \angle C \quad \cdots ①$
また、四角形ABCDは円に内接しているので、性質1より、
$\angle A + \angle C = 180^{\circ} \quad \cdots ②$
②の $\angle C$ に、①より $\angle C = \angle A$ を代入します。
$\angle A + \angle A = 180^{\circ}$
左辺をまとめると、
$2\angle A = 180^{\circ}$
両辺を2で割ると、
$\angle A = 90^{\circ}$
同じように、$\angle B$ についても考えます。平行四辺形の対角は等しいので、
$\angle B = \angle D \quad \cdots ③$
円に内接する四角形の性質1より、
$\angle B + \angle D = 180^{\circ} \quad \cdots ④$
④の $\angle D$ に、③より $\angle D = \angle B$ を代入します。
$\angle B + \angle B = 180^{\circ}$
$2\angle B = 180^{\circ}$
$\angle B = 90^{\circ}$
以上より、$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$ となり、平行四辺形の対角はそれぞれと等しいので $\angle C = \angle A = 90^{\circ}$、$\angle D = \angle B = 90^{\circ}$ です。つまり四角形ABCDの4つの角がすべて $90^{\circ}$ になります。
4つの角がすべて $90^{\circ}$ である四角形は長方形なので、平行四辺形ABCDは長方形である。(証明終わり)
ポイント:この問題のように、円に内接する四角形の性質は、それだけで使うのではなく、平行四辺形の性質や三角形の性質など、それまでに学んだ図形の知識と組み合わせて使うことがよくあります。「今、何と何をイコールで結べば式が作れるか」を意識すると、方針が立てやすくなります。
練習問題
問題
四角形ABCDは円に内接しており、$\angle A : \angle C = 2 : 3$ である。$\angle A$ と $\angle C$ の大きさをそれぞれ求めなさい。
答え
$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ であり、$\angle A : \angle C = 2 : 3$ なので、全体を $2 + 3 = 5$ 等分したときの1つ分の大きさは、
$180^{\circ} \div 5 = 36^{\circ}$
したがって、
$\angle A = 36^{\circ} \times 2 = 72^{\circ}, \qquad \angle C = 36^{\circ} \times 3 = 108^{\circ}$
答え:$\angle A = 72^{\circ}$、$\angle C = 108^{\circ}$