数学C / 平面上の曲線と複素数平面
双曲線
要点整理
楕円が「焦点までの距離の和が一定」で定義されたのに対して、双曲線は「焦点までの距離の差が一定」で定義される曲線です。差を使うことで、楕円のような閉じた形ではなく、2つに分かれた開いた曲線になります。
双曲線の定義
2つの点 $\mathrm{F}(c,0)$、$\mathrm{F}'(-c,0)$($c>0$)を焦点とし、正の定数 $a$($0 $|\mathrm{PF} - \mathrm{PF'}| = 2a$ を満たす点 $\mathrm{P}$ 全体が描く曲線を双曲線といいます。絶対値がついているのは、$\mathrm{F}$ に近い側の点では $\mathrm{PF'}-\mathrm{PF}=2a$、$\mathrm{F}'$ に近い側の点では $\mathrm{PF}-\mathrm{PF'}=2a$ となり、どちらの場合もまとめて扱うためです。 まず、$\mathrm{F}$ に近い側、つまり $\mathrm{PF'}-\mathrm{PF}=2a$ となる場合を考えます。$\mathrm{P}(x,y)$ として、 $\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a$ 右側の根号を移項します。 $\sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a + \sqrt{(x-c)^2+y^2}$ 両辺を2乗します。 $(x+c)^2+y^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2+y^2$ 両辺から $y^2$ と $(x-c)^2$ を引きます。楕円のときと同じ計算により、左辺は $(x+c)^2-(x-c)^2=4cx$ となるので、 $4cx = 4a^2 + 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ 両辺を $4$ で割ります。 $cx = a^2 + a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ 根号の項を左辺に残すように整理します。 $cx - a^2 = a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ もう一度両辺を2乗します。 $(cx-a^2)^2 = a^2\left[(x-c)^2+y^2\right]$ 左辺を展開します。 $c^2x^2 - 2a^2cx + a^4 = a^2x^2 - 2a^2cx + a^2c^2 + a^2y^2$ 両辺の $-2a^2cx$ を消します。 $c^2x^2+a^4 = a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2$ $x^2$ の項をまとめるため、両辺から $a^2x^2$ を、$y^2$ の項を右辺に残すため両辺から $a^2c^2$ を引きます。 $c^2x^2-a^2x^2-a^2y^2 = a^2c^2-a^4$ 左辺を $x^2$ でくくり、右辺を $a^2$ でくくります。 $(c^2-a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2-a^2)$ ここで $c>a>0$ なので $c^2-a^2>0$ です。この正の値を $b^2$ とおきます(楕円のときの $b^2=a^2-c^2$ とは引き算の順番が逆になる点に注意しましょう)。 $b^2 = c^2-a^2 \quad (b>0)$ 代入すると、 $b^2x^2-a^2y^2 = a^2b^2$ 両辺を $a^2b^2$ で割ります。 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ これが双曲線の標準形です。($\mathrm{F}'$ に近い側、$\mathrm{PF}-\mathrm{PF'}=2a$ の場合も、同様の計算でまったく同じ方程式が得られます。) 先ほどの計算からわかるように、楕円では $b^2=a^2-c^2$($c^2=a^2-b^2$)でしたが、双曲線では $b^2=c^2-a^2$、つまり $c^2 = a^2+b^2$ という関係になります。符号の違いに注意してください。 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ のグラフについて確認します。 双曲線には、漸近線と呼ばれる2本の直線があります。方程式を $y$ について解いてみましょう。$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ を変形すると、 $\frac{y^2}{b^2} = \frac{x^2}{a^2}-1$ $y^2 = b^2\left(\frac{x^2}{a^2}-1\right) = \frac{b^2}{a^2}(x^2-a^2)$ $y = \pm\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$ ここで、$\sqrt{x^2-a^2}$ を次のように書きかえます。 $\sqrt{x^2-a^2} = \sqrt{x^2\left(1-\frac{a^2}{x^2}\right)} = |x|\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}$ $x$ の絶対値がとても大きくなると、$\dfrac{a^2}{x^2}$ は $0$ に限りなく近づくので、$\sqrt{1-\dfrac{a^2}{x^2}}$ は $1$ に限りなく近づきます。したがって、$x$ の絶対値が大きいところでは、 $y \approx \pm\frac{b}{a}|x|$ すなわち、曲線は直線 $y=\dfrac{b}{a}x$ と $y=-\dfrac{b}{a}x$ に限りなく近づいていきます。この2本の直線を、この双曲線の漸近線といいます。 $y = \pm\frac{b}{a}x$ 漸近線は、原点を中心とした縦 $2b$、横 $2a$ の長方形の対角線を延長した直線になっており、双曲線のグラフをかくときの目印として役立ちます。 なお、焦点が $y$ 軸上にある(縦向きに開く)双曲線の標準形は、 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ で、頂点は $(0,\pm a)$、焦点は $(0,\pm c)$($c^2=a^2+b^2$)、漸近線は $y=\pm\dfrac{a}{b}x$ です。 問題 双曲線 $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ の頂点、焦点の座標、漸近線の方程式を求めなさい。 標準形と見比えます。 $a^2=9, \qquad b^2=16$ $a>0$、$b>0$ なので $a=3$、$b=4$ です。頂点は $(\pm a, 0)$ なので、 $(3, 0), \quad (-3, 0)$ 焦点までの距離は $c^2=a^2+b^2$ で求めます。 $c^2 = 9+16 = 25$ $c = 5$ 漸近線は $y=\pm\dfrac{b}{a}x$ なので、 答え: 頂点 $(3,0)$、$(-3,0)$。焦点 $(5,0)$、$(-5,0)$。漸近線 $y=\pm\dfrac{4}{3}x$ 問題 2点 $(0, 5)$、$(0, -5)$ を焦点とし、焦点までの距離の差が $6$ である双曲線の方程式を求めなさい。 焦点が $y$ 軸上にあるので、この双曲線は縦向き(標準形 $\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$)です。焦点までの距離の差が $2a=6$ なので、 $a = 3$ 焦点の座標から $c=5$ です。$c^2=a^2+b^2$ の関係を使って $b^2$ を求めます。 $b^2 = c^2-a^2 = 5^2-3^2 = 25-9 = 16$ 標準形に代入します。$a^2=9$、$b^2=16$ なので、 答え: $\dfrac{y^2}{9}-\dfrac{x^2}{16}=1$ 問題 双曲線 $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$ の焦点を $\mathrm{F}(5,0)$、$\mathrm{F}'(-5,0)$ とする。頂点 $(4,0)$ を含む方の枝(すなわち $\mathrm{F}$ に近い方の枝)の上にある点 $\mathrm{P}$ について、$\mathrm{PF}=10$ であるとき、$\mathrm{PF'}$ を求めなさい。 まず、標準形と見比べて $a^2=16$、$b^2=9$ より $a=4$、$b=3$ です。$c^2=a^2+b^2=16+9=25$ より $c=5$ となり、確かに焦点は $(\pm5,0)$ と一致します。 点 $\mathrm{P}$ は $\mathrm{F}$ に近い方の枝の上にあるので、$\mathrm{F}$ までの距離の方が $\mathrm{F}'$ までの距離より短くなります。双曲線の定義より、 $\mathrm{PF'} - \mathrm{PF} = 2a$ $2a = 2\times4=8$ なので、 $\mathrm{PF'} - \mathrm{PF} = 8$ $\mathrm{PF}=10$ を代入します。 $\mathrm{PF'} - 10 = 8$ 両辺に $10$ を加えます。 $\mathrm{PF'} = 18$ 答え: $\mathrm{PF'} = 18$ 問題1 双曲線 $\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{x^2}{12}=1$ の頂点、焦点の座標、漸近線の方程式を求めなさい。 頂点 $(0,2)$、$(0,-2)$。焦点 $(0,4)$、$(0,-4)$。漸近線 $y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$ (解説: $a^2=4$、$b^2=12$ より $a=2$、$b=2\sqrt{3}$。$c^2=4+12=16$ より $c=4$。この形は $\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$ なので漸近線は $y=\pm\dfrac{a}{b}x = \pm\dfrac{2}{2\sqrt{3}}x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}x = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$。) 問題2 2点 $(13,0)$、$(-13,0)$ を焦点とし、頂点が $(5,0)$、$(-5,0)$ である双曲線の方程式を求めなさい。 $\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{144}=1$ (解説: $a=5$、$c=13$ なので $b^2=c^2-a^2=169-25=144$。) 問題3 双曲線 $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ の焦点を $\mathrm{F}(5,0)$、$\mathrm{F}'(-5,0)$ とする。頂点 $(3,0)$ を含む方の枝の上にある点 $\mathrm{P}$ について、$\mathrm{PF}=7$ であるとき、$\mathrm{PF'}$ を求めなさい。 $13$ (解説: $a=3$ より $2a=6$。$\mathrm{PF'}-\mathrm{PF}=6$ なので $\mathrm{PF'}=7+6=13$。)標準形の方程式の導出
標準形のグラフの特徴
漸近線
例題
例題1(基本)
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例題2(標準)
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例題3(応用)
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練習問題
答え
答え
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