数学B

用語集

$S_n$

数列の初項から第$n$項までを足し合わせた和のことです。$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ を表します。 (等差数列の和)

一般項

数列の第$n$項を、番号$n$の式として表したものです。$a_n$ という記号で表すことが多いです。 (数列の基本(一般項))

階差数列

数列 $\{a_n\}$ に対して、隣り合う項の差 $b_n = a_{n+1}-a_n$ を並べてできる新しい数列 $\{b_n\}$ のことです。 (階差数列・群数列)

確率分布

確率変数$X$がとりうるすべての値と、それぞれの値をとる確率との対応関係をまとめたもの（表や式）のことです。 (確率変数と確率分布)

確率変数

試行（実験やくじ引きなど）の結果によって、とる値が決まる変数のことです。大文字の$X$などで表すことが多いです。 (確率変数と確率分布)

期待値

確率変数$X$がとる値を、それぞれの確率で重みづけして平均したものです。$X$を何度も繰り返し観測したときに期待される平均的な値を表します。記号 $E(X)$ で表し、$m$（平均を意味する mean の頭文字）と書くこともあります。 (確率変数の期待値・分散)

棄却域

検定統計量がその範囲に入ったら、帰無仮説を棄却すると判断する値の範囲のことです。 (仮説検定の方法)

帰無仮説

検定の対象として最初に立てる仮説で、「差がない」「変化がない」など、いったん正しいと仮定する主張のことです。記号 $H_0$ で表します。 (仮説検定の方法)

区間推定

母平均などの値を、1つの値ではなく「この範囲に入っているだろう」という区間の形で推測する方法です。 (母平均の推定)

群数列

数列をある規則にしたがっていくつかのグループ（群）に区切ったものです。第$n$群に含まれる項の個数に規則があることが多く、その規則を使って特定の項がどの群の何番目にあるかを調べます。 (階差数列・群数列)

公差

等差数列において、隣り合う項の差（後の項から前の項を引いた値）のことです。記号 $d$ で表すことが多いです。 (等差数列)

公比

等比数列において、隣り合う項の比のことです。記号 $r$ で表すことが多いです。 (等比数列)

項

数列を作っている1つ1つの数のことです。最初の項を「初項」、$n$番目の項を「第$n$項」と呼びます。 (数列の基本(一般項))

信頼区間

区間推定によって求められた区間のことです。 (母平均の推定)

信頼度

同じ方法で何度も標本を取り直して信頼区間を作ったとき、その区間が実際に母平均を含んでいる割合のことです。信頼度95%の信頼区間なら、この方法を繰り返したときに、およそ95%の確率で本当の母平均がその区間の中に入っていることを意味します。 (母平均の推定)

数学的帰納法

自然数$n$についての命題$P(n)$が、すべての自然数$n$で成り立つことを証明する方法です。「$n=1$のとき成り立つこと」と「$n=k$のとき成り立つと仮定すると$n=k+1$のときも成り立つこと」の2つを示すことで証明します。 (数学的帰納法)

数列

ある規則にしたがって一列に並べられた数の列のことです。例えば $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$ のような並びを数列と呼びます。 (数列の基本(一般項))

正規分布

平均の値の付近にデータが集中し、平均から離れるほど少なくなっていく、左右対称な釣り鐘（つりがね）型の分布のことです。平均$m$と分散$\sigma^2$の2つの値によって形が決まります。 (正規分布の基本)

正規分布表

標準正規分布において、$0$から$z$までの範囲に入る確率（グラフの面積）$P(0\leq Z\leq z)$の値を、$z$の値ごとにまとめた表のことです。 (標準正規分布と確率計算)

漸化式

数列の隣り合う項（例えば $a_n$ と $a_{n+1}$）の関係を表す式のことです。初項の値と漸化式が分かれば、数列のすべての項を順番に計算していくことができます。 (漸化式の基本形)

対立仮説

帰無仮説が正しくないと判断されたときに、代わりに採用する主張のことです。記号 $H_1$ で表します。 (仮説検定の方法)

中心極限定理

母集団の分布がどんな形であっても、標本の大きさ$n$が十分大きいとき、標本平均$\overline{X}$の分布は近似的に正規分布 $N\left(m,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ に従う、という定理です。 (母集団と標本・標本平均の分布)

点推定

標本から得られた1つの値（標本平均など）を、そのまま母集団の値（母平均など）の推定値として使う方法です。 (母平均の推定)

等差数列

隣り合う項の差が常に一定である数列のことです。 (等差数列)

等差中項

3つの数 $a, b, c$ がこの順に等差数列をなすとき、真ん中の数 $b$ のことを指します。$2b = a+c$ という関係が成り立ちます。 (等差数列)

等比数列

隣り合う項の比（後の項を前の項で割った値）が常に一定である数列のことです。 (等比数列)

等比中項

3つの数 $a, b, c$ がこの順に等比数列をなすとき、真ん中の数 $b$ のことを指します。$b^2 = ac$ という関係が成り立ちます。 (等比数列)

特性方程式

漸化式 $a_{n+1}=pa_n+q$ の $a_{n+1}$ と $a_n$ を、どちらも同じ文字 $\alpha$ に置き換えてできる方程式 $\alpha = p\alpha+q$ のことです。この方程式の解を使って、もとの漸化式を等比数列の形に変形します。 (種々の漸化式(特性方程式・連立漸化式))

二項分布

1回の試行で確率$p$で起こる事象が、$n$回の独立な試行のうち何回起こるかを表す確率変数$X$が従う確率分布のことです。$X$が二項分布に従うことを $X \sim B(n,p)$ と書きます。 (二項分布)

標準化

正規分布に従う確率変数$X$から、$Z=\dfrac{X-m}{\sigma}$という新しい確率変数$Z$を作る操作のことです。標準化すると、平均や標準偏差の値に関わらず、必ず標準正規分布$N(0,1)$に従うようになります。 (標準正規分布と確率計算)

標準正規分布

平均$0$、分散（および標準偏差）$1$の正規分布のことです。$N(0,1)$と表します。 (標準正規分布と確率計算)

標準偏差

分散の正の平方根のことです。分散は2乗した単位になっているため、元の単位に戻すために平方根をとったものです。記号 $\sigma(X)$（シグマ）で表します。 (確率変数の期待値・分散)

標本

母集団の中から、実際に調査のために取り出した一部分のことです。標本に含まれるデータの個数を「標本の大きさ」と呼びます。 (母集団と標本・標本平均の分布)

標本平均

標本に含まれるデータの平均値のことです。記号 $\overline{X}$（エックスバー）で表します。標本を取り直すたびに値が変わりうるので、$\overline{X}$ 自体が1つの確率変数です。 (母集団と標本・標本平均の分布)

分散

確率変数$X$の値が、期待値からどれくらい散らばっているかを表す量です。記号 $V(X)$ で表します。 (確率変数の期待値・分散)

母集団

調査や分析の対象全体の集まりのことです。たとえば「全国の高校生の身長」を調べたいなら、全国の高校生全員が母集団になります。 (母集団と標本・標本平均の分布)

母平均・母標準偏差

母集団全体についての平均値、標準偏差のことです。それぞれ$m$、$\sigma$で表すことが多く、通常は実際に母集団全部を調べるのが難しいため、値が分からないことも多いです。 (母集団と標本・標本平均の分布)

有意水準

帰無仮説を「めったに起こらないことが起きた」として棄却するかどうかの基準となる確率のことです。記号 $\alpha$ で表し、通常は $5\%$ や $1\%$ が使われます。 (仮説検定の方法)

連続型確率変数

身長や時間のように、切れ目なく連続的な値をとることができる確率変数のことです。これに対して、さいころの目のようにとびとびの値しかとらない確率変数を離散型確率変数と呼びます。 (正規分布の基本)

連立漸化式

2つ（またはそれ以上）の数列が、互いに関係し合いながら定義されている漸化式のことです。 (種々の漸化式(特性方程式・連立漸化式))

Σ（シグマ）

数列の和を短く表すための記号です。$\sum_{k=1}^{n} a_k$ と書くと、「$a_k$ の $k$ に $1$ から $n$ まで順番に整数を代入して、それらをすべて足し合わせる」という意味になります。 (和の記号Σとその性質)