数学A

用語集

1次不定方程式

ax+by=c の形をした方程式で、x, y に整数という条件をつけて解を求めるものです。解が1組に定まらないことが多いため「不定」と呼ばれます。 (1次不定方程式)

nCr

異なるn個のものの中から、順序を考えずにr個を選ぶときの選び方の総数を表す記号です。 (組合せ)

n進法

0からn-1までのn個の数字だけを使い、位が1つ上がるごとに大きさがn倍になるように数を表す方法のことです。 (n進法)

じゅず順列(数珠順列)

円順列のうち、回転だけでなく裏返し(表裏の反転)によって同じ配置になるものも同じ1通りとみなす並べ方です。 (円順列・重複順列)

チェバ線

三角形の頂点と、その対辺(またはその延長)上の点とを結んだ線分のことです。3本のチェバ線が1点で交わるかどうかを調べるときにチェバの定理を使います。 (チェバの定理・メネラウスの定理)

ねじれの位置

空間内の2つの直線が、平行でもなく交わりもせず、同じ平面上にはない位置関係のことです。 (空間図形(直線・平面の位置関係、多面体))

ベイズの定理

「結果」が起こったという情報から、その結果を引き起こした「原因」がどちらだったのかを、確率の形で逆算するための定理です。 (条件付き確率とベイズの考え方)

位取り記数法

数字が置かれている位置(位)によって、その数字が表す大きさが変わるような数の表し方のことです。 (n進法)

一般解

特殊解をもとに、整数のパラメータtを使って、方程式を満たすすべての整数解を表した式のことです。 (1次不定方程式)

円に内接する四角形

4つの頂点がすべて1つの円周上にある四角形のこと。このとき、円はその四角形に外接するという。 (円に内接する四角形)

円周角

円周上の1点から、ある弧の両端の点へ2本の弦(または線分)を引いたときにできる角のことです。 (円周角の定理)

円順列

異なるものを円形に並べる並べ方の数です。回転させて同じ配置になるものは、すべて同じ1通りとみなします。 (円順列・重複順列)

階乗(かいじょう)

1からnまでのすべての整数をかけ合わせたものをn!と書き、「nの階乗」と読みます。0! = 1と約束します。 (順列)

外角

三角形のある頂点で、内角ととなり合い、辺を延長してできる三角形の外側の角のことです。 (三角形の辺と角の関係)

外角

多角形の1つの辺を延長してできる半直線と、もう1つの辺との間にできる角のこと。となり合う内角と足すと180°になる。 (円に内接する四角形)

外心

三角形の3辺それぞれの垂直二等分線が1点で交わる点のことです。3つの頂点すべてから等しい距離にあり、その距離を半径として3頂点を通る円(外接円)の中心になります。 (三角形の重心・内心・外心)

外接

2つの円がただ1つの共有点を持ち、互いに相手の外側に位置している接し方のことです。 (2つの円の位置関係)

格子点

x座標とy座標がどちらも整数であるような、座標平面上の点のことです。 (座標や図形を利用した整数問題)

確率分布

確率変数がとりうるすべての値と、それぞれの値に対応する確率をまとめて表にしたものです。 (期待値)

確率変数

試行の結果に応じて値がただ1つに決まり、その値ごとに確率が対応している変数のことです。例えば、さいころを1回投げたときの「出た目」などがこれにあたります。 (期待値)

割線(かっせん)

円と2点で交わる直線のことです。円の外部の点から引いた割線は、その点に近い方の交点と遠い方の交点の、合わせて2つの交点を持ちます。 (方べきの定理)

期待値

確率変数のとる各値を、その値が起こる確率で重みづけして足し合わせたものです。試行を何度も繰り返したときに、結果を平均するとどれくらいの値に近づいていくかを表します。 (期待値)

共通接線

2つの円の両方に接している1本の直線のことです。2つの円の位置関係によって、その本数は0本から4本まで変わります。 (2つの円の位置関係)

互いに素

2つの整数の最大公約数が1であるとき、その2つの整数は「互いに素である」といいます。 (最大公約数・最小公倍数)

互いに素

2つの整数の最大公約数が1であることです。前提知識の1次不定方程式でも使った考え方です。 (座標や図形を利用した整数問題)

互除法

2つの整数の最大公約数を、大きい方を小さい方で割った余りを使って、次々に数を小さくしながら求めていく計算方法です。 (ユークリッドの互除法)

最小公倍数(LCM)

2つ以上の整数に共通な倍数(公倍数)のうち、正の数で最も小さいものを最小公倍数といいます。 (最大公約数・最小公倍数)

最大公約数(GCD)

2つ以上の整数に共通な約数(公約数)のうち、最も大きいものを最大公約数といいます。 (最大公約数・最小公倍数)

三垂線の定理

平面の外にある点から平面へ下ろした垂線の足をAとするとき、平面上の直線lについて、Aからlへ引いた垂線と、もとの点からlへ引いた垂線が、一方が成り立てばもう一方も成り立つ(垂直の関係が伝わる)ことを示す定理です。 (空間図形(直線・平面の位置関係、多面体))

試行

同じ条件のもとで何度でも繰り返すことができ、その結果が偶然によって決まる実験や観察のことです。 (確率の基本性質)

事象

試行の結果として起こることがらのことで、全事象の部分集合として表されます。 (確率の基本性質)

樹形図

起こりうるすべての場合を、枝分かれする図で表したものです。場合の数を「もれなく、重複なく」数えるのに役立ちます。 (場合の数と樹形図・積の法則)

重心

三角形の3本の中線(頂点と、その向かい側の辺の中点を結んだ線分)が1点で交わる点のことです。この点は、各中線を頂点側から2:1に内分します。 (三角形の重心・内心・外心)

重複順列

異なるn種類のものから、同じものを何度でも選んでよいという条件でr個並べる並べ方の数です。 (円順列・重複順列)

重複組合せ

いくつかの種類のものの中から、同じものを何度選んでもよいという条件のもとで、順序を区別せずに指定された個数だけ選ぶときの、その選び方の総数のことです。 (重複組合せと二項定理との関係)

順列

異なるいくつかのものから、順序を区別して1列に並べる並べ方のことです。 (順列)

乗法定理

2つの事象A、Bがどちらも起こる確率 $P(A \cap B)$ を、条件付き確率を使って表した公式です。 (条件付き確率とベイズの考え方)

剰余(じょうよ)

整数の割り算をしたときにできる余りのことです。割る数をbとすると、余りは0以上b未満の整数になります。 (ユークリッドの互除法)

条件付き確率

ある事象Aが起こったとわかっているという条件のもとで、別の事象Bが起こる確率のことです。記号 $P_A(B)$ で表します。 (条件付き確率とベイズの考え方)

正多面体

すべての面が合同な正多角形であり、どの頂点にも同じ数の面が集まっている凸多面体のことです。正四面体・立方体(正六面体)・正八面体・正十二面体・正二十面体の5種類しかありません。 (空間図形(直線・平面の位置関係、多面体))

積の法則

事柄Aの起こり方がm通りあり、そのどの場合に対しても事柄Bの起こり方がn通りあるとき、AとBが続けて起こる場合の数がm×n通りになるという考え方です。 (場合の数と樹形図・積の法則)

積事象

事象Aと事象Bがどちらも同時に起こるという事象のことで、A∩Bと表します。 (確率の加法定理)

接線

円などの曲線と、ただ1点だけで交わる(接する)直線のことです。 (円と接線)

接線の長さ

円の外部にある点から、接線に沿って接点まで結んだ線分の長さのことです。 (円と接線)

接点

接線が円と触れ合っている、ただ1つの共有点のことです。 (円と接線)

全体集合

考えている要素の範囲全体を表す集合のことで、記号 $U$ で表すことが多いです。 (集合の要素の個数)

素数

2以上の整数のうち、1とその数自身以外に正の約数を持たない数のこと。2, 3, 5, 7, 11などが素数です。 (約数と倍数)

組合せ

異なるものの中から、順序を考えずに何個かを取り出す選び方のことです。 (組合せ)

多項定理

二項定理を、2種類の文字だけでなく3種類以上の文字の和のn乗を展開する場合にまで広げた定理です。 (重複組合せと二項定理との関係)

対角

四角形において、辺を共有せずに向かい合っている頂点どうしの角の組のこと。四角形ABCDでは、角Aと角C、角Bと角Dがそれぞれ対角にあたる。 (円に内接する四角形)

対辺

ある角に向かい合っている辺のことです。例えば三角形ABCで角Aに対する対辺は、頂点Aを含まない辺BCです。 (三角形の辺と角の関係)

中心角

円の中心から、ある弧の両端の点へ2本の半径を引いたときにできる角のことです。 (円周角の定理)

底(てい)

n進法というときの基準になる数nのことです。「2進法」なら底は2、「5進法」なら底は5です。 (n進法)

特殊解

1次不定方程式を満たす整数の組のうち、工夫して最初に見つけた1組の解のことです。 (1次不定方程式)

独立試行

一方の試行の結果が、もう一方の試行で起こる事象の確率にまったく影響を与えないとき、それらの試行は独立であるという。 (独立試行の確率)

内心

三角形の3つの内角の二等分線が1点で交わる点のことです。3辺すべてから等しい距離にあり、その距離を半径として3辺に接する円(内接円)の中心になります。 (三角形の重心・内心・外心)

内接

2つの円がただ1つの共有点を持ち、一方が他方の内側に位置している接し方のことです。 (2つの円の位置関係)

内分点・外分点

線分の内側にあってその線分を分ける点を内分点、線分の延長上(外側)にあってその線分を分ける点を外分点といいます。 (チェバの定理・メネラウスの定理)

二項定理

aとbの和(a+b)をn乗して展開したとき、各項の係数が組合せの数を使って表されることを示す定理です。 (重複組合せと二項定理との関係)

排反事象

事象AとBが同時には起こりえない関係にあることをいいます。このとき、A∩Bは要素を1つも持たない空事象になります。 (確率の加法定理)

背理法

証明したい結論を「正しくない」と仮定して話を進め、矛盾が起きることを示すことで、もとの結論が正しいと結論づける証明方法です。 (三角形の辺と角の関係)

倍数

ある整数を1倍、2倍、3倍、…のように整数倍してできる数のこと。例えば3の倍数は3, 6, 9, 12, …と続きます。 (約数と倍数)

反復試行

同じ条件の試行を、それぞれの結果が互いに影響を与えないように独立に何回もくり返すことです。 (反復試行の確率)

反復試行の確率(二項確率)

反復試行において、ある事象Aがちょうどr回起こる確率のことです。組合せの数と、確率の積(掛け算)を組み合わせて求めます。 (反復試行の確率)

補集合

全体集合 $U$ の中で、集合 $A$ に属さない要素全体からなる集合のことで、$A^c$ と書きます(教科書によっては $\overline{A}$ とも書きます)。 (集合の要素の個数)

方べき(ほうべき)

点Pを通る直線が円と2点で交わるとき、Pからその2つの交点までの距離の積のことです。この値は、Pを通る直線の引き方を変えても変わりません。 (方べきの定理)

約数

ある整数をちょうど割り切ることができる整数のこと。例えば12は1, 2, 3, 4, 6, 12で割り切れるので、これらはすべて12の約数です。 (約数と倍数)

余事象

事象Aが起こらないという事象のことで、記号 $\overline{A}$ で表します。 (確率の基本性質)

和の法則

同時には起こらない(排反な)2つの事柄A、Bについて、Aの起こり方がm通り、Bの起こり方がn通りあるとき、AまたはBが起こる場合の数がm+n通りになるという考え方です。 (場合の数と樹形図・積の法則)

和事象

事象Aまたは事象Bの少なくとも一方が起こるという事象のことで、A∪Bと表します。 (確率の加法定理)