共通テスト対策

まず、この試行の基本的な確率を確認します。袋の中は赤球3個、白球2個の合計5個なので、

$ 1回で赤球が出る確率 = \frac{3}{5}, \qquad 1回で白球が出る確率 = \frac{2}{5} $

です。球を取り出すたびに袋に戻しているので、毎回まったく同じ条件で球を取り出すことになります。このように、同じ条件の試行を、1回の結果が他の回に影響しないように繰り返すことを「反復試行」といいます。

(1)の解説

3回とも同じ色になるのは、「3回とも赤球」の場合と「3回とも白球」の場合の2通りがあります。この2つは同時には起こらない(このことを「排反である」といいます)ので、それぞれの確率をそのまま足し合わせることができます。

3回とも赤球である確率は、

$ \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{3\times3\times3}{5\times5\times5} = \frac{27}{125} $

3回とも白球である確率は、

$ \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2\times2\times2}{5\times5\times5} = \frac{8}{125} $

したがって、3回とも同じ色になる確率は、

$ \frac{27}{125} + \frac{8}{125} = \frac{35}{125} = \frac{7}{25} $

(2)の解説

3回の試行のうち、ちょうど2回だけ赤球が出るという事象(じしょう。ある結果が起こることを指す数学の言葉です)を考えます。まず、3回のうちどの2回が赤球になるかの選び方を考えます。これは「3回の中から順番を気にせず2回を選ぶ」場合の数なので、$\binom{3}{2}$ という記号で表します。$\binom{n}{r}$ は「n個の中から順番を気にせずr個を選ぶときの選び方の数」を表す記号で、

$ \binom{3}{2} = 3 $

です(実際に、1回目と2回目が赤、1回目と3回目が赤、2回目と3回目が赤、の3通りがあります)。

赤球が出る2回それぞれの確率は $\frac{3}{5}$、残りの白球が出る1回の確率は $\frac{2}{5}$ なので、赤球がちょうど2回出る確率は、

$ \binom{3}{2} \left(\frac{3}{5}\right)^2 \left(\frac{2}{5}\right)^1 = 3 \times \frac{9}{25} \times \frac{2}{5} = 3 \times \frac{18}{125} = \frac{54}{125} $

(3)の解説

「3回のうち少なくとも1回は赤球が出た」という条件のもとで、「3回とも赤球であった」確率を求める問題です。このように、ある事象が起きたという条件のもとで、別の事象が起きる確率を「条件付き確率」といいます。事象Aが起きたという条件のもとで事象Bが起きる条件付き確率を $P(B \mid A)$ と書き、次の式で計算します。

$ P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $

ここで $A \cap B$ は「事象Aと事象Bが同時に起こること」を表す記号です。

今回、事象Aを「少なくとも1回は赤球が出る」、事象Bを「3回とも赤球である」とします。「3回とも赤球である」ならば当然「少なくとも1回は赤球が出ている」といえるので、$A \cap B$ は結局「3回とも赤球である」という事象と同じものになります。

まず $P(A)$、つまり「少なくとも1回は赤球が出る確率」を求めます。「少なくとも1回は赤球が出る」ことの反対の事象(これを「余事象」といいます)は、「1回も赤球が出ない」、すなわち「3回とも白球である」ことです。余事象の確率は、全体の確率である1から引くことで求められるので、

$ P(A) = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^3 = 1 - \frac{8}{125} = \frac{117}{125} $

次に、$P(A \cap B)$、つまり「3回とも赤球である確率」は、(1)ですでに求めたように、

$ P(A \cap B) = \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125} $

です。したがって、求める条件付き確率は、

$ P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{27}{125}}{\frac{117}{125}} = \frac{27}{117} $

最後に、この分数を約分します。27と117の最大公約数は9なので、

$ \frac{27}{117} = \frac{27 \div 9}{117 \div 9} = \frac{3}{13} $

よって、求める条件付き確率は $\frac{3}{13}$ です。

チェバの定理の確認

まず、この問題で使う「チェバの定理」を確認します。三角形ABCの辺BC、CA、AB上(またはその延長上)にそれぞれ点D、E、Fがあるとき、3本の直線AD、BE、CFが1つの点で交わるならば、次の等式が成り立ちます。

$ \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} \times \frac{AF}{FB} = 1 $

この式は、頂点Bから出発して、辺上の点をB→D→C→E→A→F→Bの順にたどりながら、通った線分の長さの比をかけ合わせると1になる、という定理です。

(1)の解説

問題文より、$BD:DC=2:3$ なので、

$ \frac{BD}{DC} = \frac{2}{3} $

また、$CE:EA=4:1$ なので、

$ \frac{CE}{EA} = \frac{4}{1} = 4 $

これらをチェバの定理の式に代入すると、

$ \frac{2}{3} \times 4 \times \frac{AF}{FB} = 1 $

左辺の $\frac{2}{3} \times 4$ を先に計算すると、

$ \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3} $

なので、

$ \frac{8}{3} \times \frac{AF}{FB} = 1 $

両辺に $\frac{3}{8}$ をかけると、左辺は

$ \frac{3}{8} \times \frac{8}{3} \times \frac{AF}{FB} = 1 \times \frac{AF}{FB} = \frac{AF}{FB} $

となり($\frac{3}{8} \times \frac{8}{3}=1$ だからです)、右辺は

$ \frac{3}{8} \times 1 = \frac{3}{8} $

となるので、

$ \frac{AF}{FB} = \frac{3}{8} $

よって、$AF:FB = 3:8$ です。

(2)の解説

点Fは辺AB上にあるので、線分AFと線分FBを合わせるとちょうど線分ABになります。つまり、

$ AF + FB = AB $

という関係が成り立ちます。$AF:FB=3:8$ ということは、線分ABを $3+8=11$ 個の等しい部分に分けたとき、AFがそのうちの3個分、FBが8個分にあたる、という意味です。

$AB=11$ なので、ABを11等分したときの1個分の長さは、

$ 11 \div 11 = 1 $

です。したがって、AFはその3個分なので、

$ AF = 1 \times 3 = 3 $

よって、線分AFの長さは $3$ です。

(1)の解説

ユークリッドの互除法とは、2つの整数の最大公約数を求めるために、大きい方の数を小さい方の数で割り、その余りでさらに割る、という操作を、余りが0になるまで繰り返す方法です。まず、7と5にこの方法を使ってみます。

$ 7 = 1 \times 5 + 2 $

$ 5 = 2 \times 2 + 1 $

$ 2 = 2 \times 1 + 0 $

余りが0になったときの割る数が最大公約数なので、7と5の最大公約数は1です。()の右辺の3は、この最大公約数1の倍数になっている(どんな整数も1の倍数です)ので、()には整数解が存在することがわかります。

次に、上の計算を逆にたどって、$7 \times (\text{整数}) - 5 \times (\text{整数}) = 1$ の形を作ります。

1つ目の式 $5 = 2 \times 2 + 1$ を、余りの2について解くと、

$ 1 = 5 - 2 \times 2 $

になります。ここに出てくる「2」を、2つ目の式(1番上の式)$7 = 1 \times 5 + 2$ を余りの2について解いた

$ 2 = 7 - 1 \times 5 $

という式で置きかえます。すると、

$ 1 = 5 - 2 \times (7 - 1 \times 5) $

となります。右辺のかっこを外すと、

$ 1 = 5 - 2 \times 7 + 2 \times 5 $

5がついている項どうしをまとめると、

$ 1 = (1+2) \times 5 - 2 \times 7 = 3 \times 5 - 2 \times 7 $

これを $7x - 5y = 1$ の形に合わせて書き直すと、

$ 7 \times (-2) - 5 \times (-3) = 1 $

という等式が得られます。これは、$x=-2$, $y=-3$ が方程式 $7x-5y=1$ の1つの整数解であることを示しています。

(*)の右辺は3なので、この等式の両辺を3倍します。

$ 7 \times (-2 \times 3) - 5 \times (-3 \times 3) = 1 \times 3 $

$ 7 \times (-6) - 5 \times (-9) = 3 $

したがって、$x=-6$, $y=-9$ が(*)の1つの整数解です。実際に確かめると、

$ 7 \times (-6) - 5 \times (-9) = -42 - (-45) = -42+45 = 3 $

となり、確かに(*)を満たしています。

(2)の解説

(*)の式と、(1)で見つけた解が満たす式

$ 7x - 5y = 3 $

$ 7 \times (-6) - 5 \times (-9) = 3 $

を並べて、上の式から下の式を引き算します。右辺は $3-3=0$ になるので、

$ 7\{x-(-6)\} - 5\{y-(-9)\} = 0 $

すなわち、

$ 7(x+6) - 5(y+9) = 0 $

移項すると、

$ 7(x+6) = 5(y+9) $

という等式が得られます。この式は「7に $(x+6)$ をかけた数」と「5に $(y+9)$ をかけた数」が等しいことを表しています。7と5は最大公約数が1(このことを「互いに素である」といいます)なので、右辺の $5(y+9)$ が7の倍数になるためには、$(y+9)$ の部分ではなく $(x+6)$ の部分が5の倍数でなければなりません。そこで、$(x+6)$ を整数kを用いて、

$ x+6 = 5k $

と表します。これを $7(x+6)=5(y+9)$ に代入すると、

$ 7 \times 5k = 5(y+9) $

両辺を5で割ると、

$ 7k = y+9 $

よって、$x$ と $y$ について整理すると、

$ x = 5k-6, \qquad y = 7k-9 \qquad (kは整数) $

が、(*)のすべての整数解を表す式になります。

(3)の解説

xとyがともに2桁の正の整数、つまりどちらも10以上99以下になるようなkの範囲を求めます。

まず、xについての条件 $10 \leq x \leq 99$ に $x=5k-6$ を代入すると、

$ 10 \leq 5k-6 \leq 99 $

各辺に6を足すと、

$ 16 \leq 5k \leq 105 $

各辺を5で割ると、

$ 3.2 \leq k \leq 21 $

kは整数なので、この範囲を満たす整数は $k=4, 5, 6, \ldots, 21$ です。

次に、yについての条件 $10 \leq y \leq 99$ に $y=7k-9$ を代入すると、

$ 10 \leq 7k-9 \leq 99 $

各辺に9を足すと、

$ 19 \leq 7k \leq 108 $

各辺を7で割ると、

$ 2.71\ldots \leq k \leq 15.42\ldots $

kは整数なので、この範囲を満たす整数は $k=3, 4, 5, \ldots, 15$ です。

xとyの両方の条件を同時に満たすには、2つの範囲の共通部分を考える必要があります。xの条件からは $k \geq 4$、yの条件からは $k \geq 3$ なので、下側はより厳しい(範囲が狭い)方である $k \geq 4$ が採用されます。同様に、上側は $k \leq 21$ と $k \leq 15$ のうち、より厳しい $k \leq 15$ が採用されます。したがって、共通の範囲は、

$ 4 \leq k \leq 15 $

です。

$x=5k-6$ はkが大きくなるほどxも大きくなる式なので、xが最も小さくなるのは、この範囲で最も小さいkの値、つまり $k=4$ のときです。$k=4$ を代入すると、

$ x = 5\times 4 - 6 = 20-6 = 14 $

$ y = 7\times 4 - 9 = 28-9 = 19 $

よって、求める解は $x=14$, $y=19$ です。実際に確かめると、$7 \times 14 - 5 \times 19 = 98-95=3$ となり、(*)を満たしています。