数学II

用語集

n乗根

n個かけ合わせると(n乗すると)aになるような数のことです。nが2のときは平方根、nが3のときは立方根と呼ばれます。 (累乗根と指数の拡張)

アポロニウスの円

2つの定点からの距離の比が1:1でない一定の値になるとき、その条件を満たす点全体が描く円のこと。 (軌跡と方程式)

一般角

360°で1周してもとに戻るという性質を利用して、360°より大きい角度や、負の角度(時計回りの回転)まで含めて考えた角のことです。 (一般角と弧度法)

一般形

直線の方程式を ax+by+c=0 の形にまとめたものです。y=(式) の形では表せない、x軸に垂直な直線(x=kの形)もこの形なら表すことができます。 (直線の方程式)

一般形

展開されて $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ の形にまとめられた円の方程式です。中心や半径を求めるには平方完成が必要です。 (円の方程式)

一般項

展開式の中の1つの項を、文字$k$を使って一般的な形で表したもの。特定の項の係数だけを知りたいときに、全部展開しなくても求められます。 (二項定理と多項定理)

因数定理

$P(a)=0$ が成り立つことと、$x-a$ が整式 $P(x)$ の因数であることが同値であるという定理です。 (剰余の定理と因数定理)

外分点

線分ABの延長線上(線分の外部)にあって、AQ:QB = m:n となるように線分を分ける点Qのことです。 (2点間の距離・内分点と外分点)

割線

曲線上の異なる2点を通る直線のことです。この2点を近づけていくと、割線は接線に近づいていきます。 (平均変化率と微分係数)

軌跡

与えられた条件を満たす点をすべて集めたときにできる図形のこと。 (軌跡と方程式)

虚数解

方程式の解のうち、虚部が $0$ でない複素数になっているもの(実数ではない解)のことです。2次方程式では判別式が負のときに現れます。 (複素数と2次方程式の解)

虚数単位

2乗すると $-1$ になるという性質だけを持つ、新しく導入される数のことです。記号 $i$ で表します。 (複素数の計算)

共通部分

2つ以上の集合(ここでは領域)の、どちらにも属している部分のことです。連立不等式が表す領域は、それぞれの不等式が表す領域の共通部分になります。 (不等式の表す領域)

共役解

実数を係数とする2次方程式が虚数解を持つとき、2つの解が互いに共役複素数(実部が同じで、虚部の符号だけが反対)になっていることを指す言い方です。 (複素数と2次方程式の解)

共役複素数

複素数 $a+bi$ に対して、実部はそのままに虚部の符号だけを反転させた $a-bi$ のことです。割り算のときに使います。 (複素数の計算)

共有点

2つの図形がともに通る点のことです。円と直線の場合、交点や接点のことを指します。 (円と直線の位置関係)

境界

領域とそれ以外の部分を分ける線(直線や円など)のことです。不等式に等号(≦や≧)が含まれるときは境界を含み、含まれないとき(<や>)は境界を含みません。 (不等式の表す領域)

極限

ある値に限りなく近づけていったときに、式の値が近づいていく先のことです。$\lim_{h\to0}$ は「$h$ を $0$ に限りなく近づけたときの極限」を意味します。 (平均変化率と微分係数)

極小値

グラフが減少から増加に転じる、谷の底での関数の値のことです。その付近だけで見たときの最小値、というイメージです。 (関数の増減と極大・極小)

極大値

グラフが増加から減少に転じる、山の頂点での関数の値のことです。その付近だけで見たときの最大値、というイメージです。 (関数の増減と極大・極小)

係数比較法

恒等式の両辺を同じ文字について整理し、次数がそろった項どうしの係数が等しいことを利用して、未知の定数を求める方法です。 (恒等式と等式・不等式の証明)

傾き

直線がどれくらい斜めになっているかを表す数です。xの値が1増えたときにyの値がどれだけ増える(減る)かを表します。 (直線の方程式)

傾き

直線上で $x$ が $1$ 増えたときに $y$ がどれだけ変化するかを表す数値です。直線の式を $y = mx + b$ の形で書いたときの $m$ にあたります。 (2直線の平行・垂直)

原始関数

微分すると $f(x)$ になるような関数のことです。$F'(x)=f(x)$ が成り立つとき、$F(x)$ を $f(x)$ の原始関数といいます。 (不定積分)

弧度法(ラジアン)

角の大きさを、半径と等しい長さの弧に対する中心角の大きさを基準にして表す方法です。単位はラジアン(rad)ですが、通常は単位を省略して書きます。 (一般角と弧度法)

恒等式

式の中の文字にどんな値を代入しても、両辺の値が常に等しくなる等式のことです。特定の値のときだけ成り立つ「方程式」とは区別されます。 (恒等式と等式・不等式の証明)

高次方程式

3次以上の整式でできた方程式のことです。因数定理を利用して、次数を1つずつ下げながら解いていきます。 (高次方程式の解法)

最高位の数字

整数の中で、いちばん左(いちばん大きい位)にある数字のことです。たとえば present 4728 の最高位の数字は4です。 (常用対数とその応用(桁数・最高位の数))

指数関数

y=a^x のように、指数の部分に変数xが入っている関数のことです。aは1ではない正の定数で、底(てい)と呼ばれます。 (指数関数のグラフと性質)

指数不等式

2^x>8 のように、指数の部分に文字xが含まれている不等式のことです。 (指数方程式・不等式)

指数方程式

2^x=8 のように、指数の部分に文字xが含まれている方程式のことです。 (指数方程式・不等式)

周期

関数のグラフが同じ形を繰り返す1回分の幅のことです。$f(\theta+p)=f(\theta)$ が常に成り立つ正の数 $p$ のうち、最小のものを周期といいます。 (三角関数のグラフ(周期・振幅))

重心

三角形の3本の中線(頂点と対辺の中点を結ぶ線分)がすべて1点で交わる点で、各頂点の座標の平均として求められます。 (2点間の距離・内分点と外分点)

商(しょう)

整式Aを整式Bで割ったときに得られる、割り算の結果の整式のことです。 (整式の除法)

剰余の定理

整式 $P(x)$ を1次式 $x-a$ で割ったときの余りが、$x$に$a$を代入した値 $P(a)$ と等しくなるという定理です。 (剰余の定理と因数定理)

常用対数

底が10である対数のことです。log_{10} M を、底を省略して log M と書くこともあります。 (常用対数とその応用(桁数・最高位の数))

振幅

グラフの中心の高さから、山や谷までの高さの差のことです。$y=a\sin\theta$ のグラフでは $|a|$ が振幅になります。 (三角関数のグラフ(周期・振幅))

真数

対数 log_a M における M のことです。必ず正の数でなければなりません。 (対数の定義と性質)

真数条件

対数 log_a M の中の M(真数)が正の数でなければならない、という条件のことです。対数方程式・不等式を解くときは、最初に必ず確認する必要があります。 (対数方程式・不等式)

垂線の足

ある点から1つの直線に垂直な線(垂線)を引いたとき、その垂線と直線が交わる点のことです。 (2直線の平行・垂直)

数値代入法

恒等式に具体的な数値を代入して得られる等式から未知の定数の候補を求め、最後に元の式へ戻して本当に恒等式になっているかを確かめる方法です。 (恒等式と等式・不等式の証明)

整式が割り切れる

整式の除法で余りが0になることです。このとき、割る式は割られる式の因数になっています。 (整式の除法)

積分定数

不定積分の結果に必ず付け加える、値が定まらない定数のことです。ふつう $C$ という文字で表します。 (不定積分)

接線

曲線とただ1点だけを共有し、その点でぴったり触れるように交わる直線のことです。 (円と直線の位置関係)

接線

曲線上のある1点で、その曲線にぴったり寄り添うように接する直線のことです。 (平均変化率と微分係数)

漸近線

グラフがどこまでも近づいていくが、決して重ならない直線のことです。指数関数y=a^xのグラフでは、x軸(直線y=0)が漸近線になります。 (指数関数のグラフと性質)

相反方程式

係数が左右対称になっている方程式のことです。両辺をxの2乗で割ってから、xと1/xの和を新しい文字で置き換えることで次数を下げられます。 (高次方程式の解法)

増減表

$x$ の値、$f'(x)$ の符号、$f(x)$ の増減の様子(グラフが上がっているか下がっているか)を1つの表にまとめたものです。 (関数の増減と極大・極小)

多項定理

二項定理を、3つ以上の文字の和の累乗(例:$(a+b+c)^n$)に拡張した定理です。 (二項定理と多項定理)

対称式

2つの文字(ここでは $\alpha$ と $\beta$)を入れ替えても、式全体の値が変わらないような式のことです。$\alpha+\beta$ や $\alpha\beta$、$\alpha^2+\beta^2$ などが代表例です。 (解と係数の関係)

対数

「aを何乗すればMになるか」というべき指数の値を表す数です。log_a M と書き、aを底、Mを真数と呼びます。 (対数の定義と性質)

対数関数

y=log_a x のように、対数を使って表される関数のことです。定義域はx>0(真数条件)である必要があります。 (対数関数のグラフと性質)

単位円

原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円のことです。三角関数を一般角に対して定義するときの土台になります。 (三角関数の定義と相互関係)

単調増加・単調減少

xの値が大きくなるにつれて、yの値も常に大きくなる関数を単調増加、常に小さくなる関数を単調減少と言います。 (指数関数のグラフと性質)

通分

分母が異なる複数の分数式について、分母をすべて同じ整式にそろえることです。 (分数式の計算)

底

対数 log_a M における a のことです。1ではない正の数でなければなりません。 (対数の定義と性質)

点と直線の距離

点からその直線に垂線(垂直な線)を下ろしたときの、点から垂線の足(交点)までの長さのことです。点から直線上のどの点までの距離よりも、この垂線の長さがいちばん短くなります。 (点と直線の距離)

動径

角を表すために、原点を中心に回転する半直線のことです。回転前の位置を「始線」といいます。 (一般角と弧度法)

導関数

もとの関数 $f(x)$ の各点 $x$ における微分係数 $f'(x)$ を、$x$ の関数として改めてまとめたものです。$f(x)$ から導関数を求める操作を「微分する」といいます。 (導関数の定義と計算(多項式))

内分点

線分ABの内部にあって、AP:PB = m:n となるように線分を分ける点Pのことです。 (2点間の距離・内分点と外分点)

二項定理

$(a+b)^n$を展開したときの各項の係数が、組合せの記号$\binom{n}{k}$を使ってきれいに表せることを示す定理です。 (二項定理と多項定理)

判別式

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の実数解の個数を調べるための式で、$D=b^2-4ac$ と定義されます。 (円と直線の位置関係)

標準形

円の中心の座標 $(a, b)$ と半径 $r$ が、式の形からそのまま読み取れる書き方の方程式のことです。 (円の方程式)

不定積分

$f(x)$ のすべての原始関数をまとめて表したもので、$\int f(x)\,dx$ という記号で表します。原始関数は無数にありますが、どの2つも定数だけの違いしかありません。 (不定積分)

複素数

実数 $a$, $b$ を使って $a+bi$ の形で表される数のことです。$a$ を実部、$b$ を虚部と呼びます。 (複素数の計算)

分数指数

指数(累乗の右上に書く小さい数)が、整数ではなく分数になっているもののことです。a^{m/n} は、n乗根を使って定義されます。 (指数法則の拡張(有理数・実数指数))

分数式

整式Aと整式B(Bは0でない整式)を用いて、A/Bの形に表される式のことです。 (分数式の計算)

約分

分数式の分子と分母を共通の因数で割り、より簡単な形に直すことです。 (分数式の計算)

余り(あまり)

整式の割り算で、割り切れずに残る部分の整式のことです。余りの次数は、必ず割る式の次数より小さくなります。 (整式の除法)

累乗根

2乗根・3乗根・4乗根……のように、n乗するとaになる数をまとめて呼ぶときの名前です。 (累乗根と指数の拡張)