数学I

用語集

2次不等式

$ax^2+bx+c>0$ のように、2次式(文字の最高次数が2である式)を使った不等式のことです。この不等式を満たす $x$ の値の範囲を求めることが目標になります。 (2次不等式の解き方)

2次方程式

$ax^2+bx+c=0$($a$, $b$, $c$ は定数で $a \neq 0$)の形で表せる、文字 $x$ についての方程式のことです。 (2次方程式の解と判別式)

たすき掛け

$x^2$の係数が1でない2次式を因数分解するときに、2組の数を斜め(たすき状)にかけて足し合わせ、真ん中の項の係数と一致する組み合わせを探す作業のことです。 (たすき掛けによる因数分解)

移項

等式や不等式で、一方の辺にある項を、符号(プラスとマイナス)を変えてから他方の辺に移す変形のことです。 (1次不等式)

因数分解

整式(文字と数の式)を、いくつかの整式の「掛け算(積)」の形に表すことです。展開の公式(乗法公式)を逆向きに使う操作だと考えることができます。 (因数分解の基本公式)

外れ値

他の多くのデータから極端に離れている値のことです。四分位範囲を使った基準によって、外れ値かどうかを判定することがあります。 (四分位数と箱ひげ図)

外接円

三角形の3つの頂点すべてを通る、ただ1つに決まる円のことです。この円の半径を外接円の半径といいます。 (正弦定理)

関数

xの値を1つ決めるごとに、それに対応してyの値がただ1つに決まるとき、「yはxの関数である」といいます。 (関数とグラフの基本)

棄却

立てた仮説の下ではめったに起こらないはずのことが実際に起きたと判断して、その仮説を否定することです。 (仮説検定の考え方)

帰無仮説

仮説検定で、本当に主張したいこととは逆の内容(「差はない」「偶然によるものだ」など)として、いったん立てておく仮説のことです。 (仮説検定の考え方)

逆

命題 $p \Rightarrow q$ に対して、仮定 $p$ と結論 $q$ を入れ替えてできる命題 $q \Rightarrow p$ のことです。 (命題の逆・裏・対偶と証明)

共通因数

式の中のすべての項に共通して含まれている、掛け算のもとになっている部分のことです。 (因数分解の基本公式)

共通範囲(連立不等式の解)

2つ以上の不等式をすべて同時に満たす $x$ の値の範囲のことです。それぞれの不等式の解を数直線上に書き、重なっている部分を読み取ることで求められます。 (2次不等式の解き方)

共通部分(A∩B)

集合Aと集合Bの、どちらにも属している要素だけを集めてできる集合のことです。 (集合の基本(共通部分・和集合・補集合))

共分散

2つの変量それぞれの偏差(平均値からのずれ)の積を、データの個数で平均した値です。2つの変量が同じ方向にずれる傾向が強いほど大きな正の値に、逆方向にずれる傾向が強いほど大きな負の値になります。 (データの相関と散布図)

共分散

2つの変量それぞれの偏差(データの値と平均の差)をかけ合わせたものを、すべてのデータについて平均した値です。xとyが同じ方向にずれる傾向が強いほど大きな正の値に、逆方向にずれる傾向が強いほど大きな負の値になります。 (相関係数)

挟角(きょうかく)

2つの辺にはさまれてできる角のことです。たとえば辺bと辺cにはさまれた角は角Aになります。 (余弦定理)

降べきの順

1つの文字に着目したとき、その文字について、次数(その文字が何個かけられているか)が高い項から低い項へと並べること。複数の文字を含む式を整理するときによく使います。 (複雑な式の因数分解(置換・工夫))

最小値

関数がとることのできる値の中で、いちばん小さい値のことです。 (2次関数の最大・最小)

最大値

関数がとることのできる値の中で、いちばん大きい値のことです。 (2次関数の最大・最小)

最頻値(モード)

データの中で最も多く現れる値(度数が最大の値)のことです。 (データの代表値(平均・中央値・最頻値))

三角比

直角三角形の鋭角の大きさによって決まる、2辺の長さの比のことです。sin(正弦)・cos(余弦)・tan(正接)の3種類があります。 (鋭角の三角比(sin, cos, tan)の定義)

三角比の相互関係

同じ角$\theta$に対する$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$の間に、角の大きさに関係なくいつでも成り立つ関係式のことです。1つの三角比の値が分かれば、この関係式を使って残りの三角比の値を求めることができます。 (三角比の相互関係)

三角不等式

sinθ, cosθ, tanθ のように、角θの三角比を含む不等式のことです。指定された角の範囲の中で、不等式を満たすθの値の範囲を求めます。 (三角方程式・不等式の基礎)

三角方程式

sinθ, cosθ, tanθ のように、角θの三角比を含む方程式のことです。指定された角の範囲の中で、方程式を満たすθの値をすべて求めます。 (三角方程式・不等式の基礎)

三垂線の定理

点Pから平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$O$とし、平面$\alpha$上の直線$l$上に点$M$をとります。このとき、「$OM\perp l$」であることと「$PM\perp l$」であることは同じ意味になる、という定理です。空間図形の中で垂直な関係や角度を見つけるときの強力な道具です。 (空間図形の計量)

散布図

2つの変量の値の組 $(x, y)$ を、$x$ を横軸、$y$ を縦軸にとった平面上に点として1つずつ打っていったグラフのことです。 (データの相関と散布図)

四分位数

データを小さい順に並べて4つの区画に分けたときの区切りの値のことです。小さい方から第1四分位数Q1、中央値にあたる第2四分位数Q2、第3四分位数Q3と呼びます。 (四分位数と箱ひげ図)

次数

単項式では掛け合わされている文字の個数(指数の和)、多項式では各項の次数のうち最大のものを指します。 (整式の整理(次数・係数・同類項))

軸

放物線を左右対称に分ける直線で、頂点を通り $y$ 軸に平行です。$y=a(x-p)^2+q$ のグラフでは、方程式 $x=p$ で表されます。 (2次関数のグラフと頂点(平方完成))

斜辺

直角三角形で、直角に向かい合う辺のことです。3辺の中で必ず最も長い辺になります。 (鋭角の三角比(sin, cos, tan)の定義)

十分条件・必要条件

命題 $p \Rightarrow q$ が真であるとき、$p$ を $q$ であるための十分条件、$q$ を $p$ であるための必要条件と言います。 (命題と条件・必要十分条件)

重解

2次方程式の2つの解が一致して、実質1つの値しかない場合の、その解のことです。 (2次方程式の解と判別式)

乗法公式

よく出てくる形の展開を、そのつど分配法則で計算しなくてもすぐに答えが書けるように、あらかじめ結果をまとめておいた公式のことです。 (展開の公式(乗法公式))

場合分け

1つの式や条件だけでは答えが決まらないとき、いくつかの場合に分けてそれぞれ別々に考える方法のことです。この単元では、頂点の位置が定義域の内側にあるか外側にあるかで、最大・最小の求め方が変わるために使います。 (制限された定義域での最大・最小)

常に成り立つ不等式

$x$ にどんな実数を代入しても、その不等式が成り立つことです。2次不等式の場合は、グラフ全体が $x$ 軸の上側、または下側だけにあることを意味します。 (2次関数のグラフと2次不等式の関係)

整式

単項式(数や文字を掛け合わせただけの式)と、その和である多項式をまとめた呼び方です。 (整式の整理(次数・係数・同類項))

正の相関・負の相関

一方の変量が大きくなるほどもう一方も大きくなる傾向があるとき「正の相関」、一方が大きくなるほどもう一方が小さくなる傾向があるとき「負の相関」があるといいます。どちらの傾向も見られないときは「相関がない」といいます。 (データの相関と散布図)

正四面体

4つの面がすべて合同な正三角形でできている四面体(三角錐)のことです。4つの頂点から見て、形がどこも同じに見える、とても対称性の高い立体です。 (空間図形の計量)

絶対値

ある実数について、数直線上でその数に対応する点と原点(0の点)との距離を表す値のことです。距離なので、常に0以上になります。 (実数と数直線・絶対値)

相関係数

共分散を、xの標準偏差とyの標準偏差の積で割った値です。記号rで表し、-1以上1以下の値をとります。2つの変量のあいだの直線的な関係の強さと向きを表す指標です。 (相関係数)

対偶

命題 $p \Rightarrow q$ に対して、仮定と結論を入れ替えたうえで、それぞれを否定してできる命題 $\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$ のことです。元の命題と対偶は、真偽が必ず一致するという重要な性質があります。 (命題の逆・裏・対偶と証明)

対称移動

ある直線や点を基準にして、図形を鏡に映したように反対側へ移動させることです。 (グラフの平行移動・対称移動)

対辺

着目している角の真向かいにある辺のことです。角$A$の対辺は$a$、角$B$の対辺は$b$、角$C$の対辺は$c$のように、対応する角の大文字と同じアルファベットの小文字で表します。 (正弦定理)

対辺・底辺

着目している鋭角(90°より小さい角)θを基準にして、θと向かい合う辺を「対辺」、θに隣り合う辺のうち斜辺ではないほうを「底辺」と呼びます。 (鋭角の三角比(sin, cos, tan)の定義)

対辺(たいへん)

ある角のちょうど向かい側にある辺のことです。角Aの対辺は辺a、角Bの対辺は辺b、角Cの対辺は辺cと表します。 (余弦定理)

代表値

データ全体の特徴を1つの数値で表したものです。平均値・中央値・最頻値などがあります。 (データの代表値(平均・中央値・最頻値))

単位円

原点Oを中心とする半径1の円のことです。三角比を鋭角以外の角にも拡張して考えるときの基準として使います。 (三角比の拡張(0°〜180°))

値域

定義域内のxに対応して、yがとりうる値の範囲のことです。 (関数とグラフの基本)

置換

式の中で繰り返し現れているひとまとまりの式を、tなどの新しい1つの文字に置き換えること。式の形を単純にして、見慣れた公式やたすき掛けが使えるようにするための工夫です。 (複雑な式の因数分解(置換・工夫))

中央値(メジアン)

データを大きさの順に並べたときに、ちょうど真ん中に来る値のことです。 (データの代表値(平均・中央値・最頻値))

頂点

放物線の最も高い点(上に凸のとき)、または最も低い点(下に凸のとき)。$y=a(x-p)^2+q$ の形では座標 $(p, q)$ で表されます。 (2次関数のグラフと頂点(平方完成))

定義域

関数において、xの値としてとることが許されている値の範囲のことです。 (関数とグラフの基本)

定義域

関数において、変数xが実際にとることのできる値の範囲のことです。定義域が指定されると、放物線全体ではなく、その範囲に対応するグラフの一部分だけを考えることになります。 (制限された定義域での最大・最小)

展開

かっこでくくられた掛け算の式を、かっこを外してすべての項をたし算・ひき算だけの形に書き直すことです。 (展開の公式(乗法公式))

同類項

文字の部分(文字の種類とその指数)がまったく同じである項どうしのことです。係数どうしを足し引きして1つの項にまとめることができます。 (整式の整理(次数・係数・同類項))

鈍角

90°より大きく180°より小さい角のことです。直角三角形の内部の角としては存在できないため、三角比の新しい定義が必要になります。 (三角比の拡張(0°〜180°))

内接円

三角形の3つの辺すべてに接するように描ける円のことです。その円の中心を内心、半径を内接円の半径といいます。 (三角形の面積公式)

二重根号

根号の中に、さらに根号が入っている式(例:$\sqrt{7+2\sqrt{10}}$)のことです。工夫すると、根号が1つだけの形に書き直せることがあります。 (根号を含む式の計算)

二面角(にめんかく)

2つの平面が交わってできる角のことです。交わる直線(辺)上の1点から、それぞれの平面の中でその直線に垂直な線を引いたとき、その2本の線がつくる角の大きさで測ります。 (空間図形の計量)

箱ひげ図

最小値・第1四分位数・中央値・第3四分位数・最大値という5つの値(五数要約)を使って、データの分布のようすを箱とひげの形で表した図のことです。 (四分位数と箱ひげ図)

判別式

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が実数解をいくつ持つかを、実際に解かなくても判定できる式 $D=b^2-4ac$ のことです。 (2次方程式の解と判別式)

半周長

三角形の3辺の長さの和を2で割った値のことです。記号 $s$ で表され、ヘロンの公式で使います。 (三角形の面積公式)

必要十分条件

$p \Rightarrow q$ と $q \Rightarrow p$ の両方が真であるとき、$p$ と $q$ は必要十分条件(同値)であると言います。 (命題と条件・必要十分条件)

標準偏差

分散の正の平方根のことです。分散は単位が2乗されてしまうため、元のデータと同じ単位に戻すために平方根をとります。 (分散と標準偏差)

分散

すべてのデータの偏差を2乗してから平均した値のことです。データが平均のまわりにどれくらい散らばっているかを表す代表的な数値です。 (分散と標準偏差)

分配法則

$a(b+c)=ab+ac$ のように、かっこの外の式をかっこの中のすべての項に1つずつかけて計算するというルールです。 (整式の加法・減法・乗法)

平行移動

図形の形や向きを変えずに、x軸方向とy軸方向にそれぞれ一定の距離だけずらして動かすことです。 (グラフの平行移動・対称移動)

平方完成

2次式を $a(x-p)^2+q$ の形に変形すること。この形にすると、グラフの頂点の座標をすぐに読み取れるようになります。 (2次関数のグラフと頂点(平方完成))

平方根

2乗するとその数になる数のことです。正の数 $a$ の平方根は $\sqrt{a}$ と $-\sqrt{a}$ の2つがあり、根号($\sqrt{\ }$)は、そのうち正の方の平方根を表す記号です。 (根号を含む式の計算)

偏差

あるデータの値から、データ全体の平均値を引いた差のことです。平均より大きい値は正の偏差、小さい値は負の偏差になります。 (分散と標準偏差)

補集合

全体集合Uの要素のうち、集合Aに属さない要素だけを集めてできる集合のことです。 (集合の基本(共通部分・和集合・補集合))

無理数

分数の形では表せない数のことです。小数で表すと、同じ並びが繰り返されることなく無限に続く小数になります。例として $\sqrt{2}$ や $\pi$ があります。 (実数と数直線・絶対値)

命題

正しいか正しくないかがただ1つに決まる文や式のことです。 (命題と条件・必要十分条件)

有意水準

仮説を否定する(棄却する)かどうかを判断するための、基準となる確率のことです。5%や1%がよく使われます。 (仮説検定の考え方)

有理化

分数の分母に根号が含まれているとき、分母と分子に同じ数をかけることで、分母から根号をなくす計算のことです。 (根号を含む式の計算)

有理数

2つの整数 $p$, $q$($q \neq 0$)を使って $\frac{p}{q}$ の形で表せる数のことです。小数で表すと、有限小数か、同じ並びが繰り返される循環小数になります。 (実数と数直線・絶対値)

裏

命題 $p \Rightarrow q$ に対して、仮定と結論をそれぞれ否定してできる命題 $\overline{p} \Rightarrow \overline{q}$ のことです。 (命題の逆・裏・対偶と証明)

連立不等式

2つ以上の不等式をすべて同時に満たすxの値の範囲を求める問題のことです。それぞれの不等式を解いてから、共通する範囲(共通部分)を求めます。 (1次不等式)

和集合(A∪B)

集合Aと集合Bの、少なくとも一方に属している要素を集めてできる集合のことです。 (集合の基本(共通部分・和集合・補集合))