共通テスト対策

(1) 辺 $BC$ の長さ

2辺の長さ($AB$ と $AC$)と、その間の角($\angle A$)が分かっているので、余弦定理を使います。余弦定理とは、三角形の1つの角とその両側の2辺の長さから、残りの1辺の長さを求めることができる定理で、次の式で表されます。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

この式の右辺に、$AB=5$、$AC=3$、$\angle A = 60^{\circ}$ を代入します。$\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$ であることを使うと、

$BC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \times 5 \times 3 \times \cos 60^{\circ}$

まず、$5^2=25$、$3^2=9$ をそれぞれ計算します。

$BC^2 = 25 + 9 - 2 \times 5 \times 3 \times \frac{1}{2}$

次に、$2 \times 5 \times 3 \times \dfrac{1}{2}$ を計算します。$2$ と $\dfrac{1}{2}$ が掛け合わさって $1$ になるので、この部分は $5 \times 3 = 15$ となります。

$BC^2 = 25 + 9 - 15$

最後に、$25+9=34$ なので、

$BC^2 = 34 - 15 = 19$

$BC$ は辺の長さなので正の数です。したがって、

$BC = \sqrt{19}$

(2) 三角形 $ABC$ の面積

2辺の長さとその間の角が分かっているときの三角形の面積公式を使います。この公式は、2辺の長さを $b$, $c$、その間の角を $A$ とすると、

$S = \frac{1}{2}bc\sin A$

という形で表されます。ここでは $b=AC=3$、$c=AB=5$、$\angle A = 60^{\circ}$ を代入します。$\sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であることを使うと、

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

分子どうし、分母どうしを掛け合わせます。分子は $3 \times 5 \times \sqrt{3} = 15\sqrt{3}$、分母は $2 \times 2 = 4$ となるので、

$S = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

(3) 外接円の半径 $R$

正弦定理を使います。正弦定理とは、三角形のある角の大きさとその対辺(向かい合う辺)の長さの比が、外接円の直径 $2R$ に等しくなるという定理で、次の式で表されます。

$\frac{BC}{\sin A} = 2R$

(1)で求めた $BC=\sqrt{19}$ と、$\sin A = \sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を代入します。

$\frac{\sqrt{19}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

左辺は「分数で割る」計算なので、割る数の分母と分子を入れ替えて掛け算に直します。

$\sqrt{19} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 2R$

$\frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{3}} = 2R$

両辺を $2$ で割ります。

$R = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}}$

分母に根号が残っているので、分母を有理化します。分母・分子の両方に $\sqrt{3}$ を掛けます。

$R = \frac{\sqrt{19} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{57}}{3}$

したがって、外接円の半径は $R = \dfrac{\sqrt{57}}{3}$ です。

方針を立てる

まず、$f(x)$ を平方完成(式を $\left(x-p\right)^2+q$ の形に変形すること)して、放物線の頂点の位置を調べます。

$f(x) = x^2 - 4x + 5$

$x^2-4x$ の部分を $\left(x-2\right)^2$ の形にすることを考えます。$\left(x-2\right)^2 = x^2-4x+4$ なので、$x^2-4x = \left(x-2\right)^2 - 4$ と書き直せます。これを元の式に代入すると、

$f(x) = \left(x-2\right)^2 - 4 + 5$

$f(x) = \left(x-2\right)^2 + 1$

この式から、$f(x)$ のグラフは頂点 $\left(2,\ 1\right)$ を持ち、$x^2$ の係数が $1$ で正の数なので、下に凸(グラフが下向きに膨らんだ形)の放物線であることが分かります。下に凸の放物線は、頂点から左右に離れるほど値が大きくなります。つまり、$x<2$ の範囲では $x$ が大きくなるほど $f(x)$ は小さくなり(減少)、$x>2$ の範囲では $x$ が大きくなるほど $f(x)$ は大きくなります(増加)。

定義域は $0 \leq x \leq a$ で、$a>0$ です。この定義域の中に頂点の $x$ 座標である $x=2$ が含まれるかどうかで、$f(x)$ の様子が変わります。そこで、$a$ と $2$ の大小関係で場合分けをします。

場合1: $0 < a \leq 2$ のとき

このとき、定義域 $0 \leq x \leq a$ は、頂点の $x$ 座標である $2$ 以下の範囲にすべて収まっています。この範囲では $f(x)$ はずっと減少しているので、$x$ が最も小さい $x=0$ で $f(x)$ は最大になり、$x$ が最も大きい $x=a$ で $f(x)$ は最小になります。

最大値は、

$f(0) = 0^2 - 4\times0 + 5 = 5$

最小値は、

$f(a) = a^2 - 4a + 5$

場合2: $2 < a \leq 4$ のとき

このとき、定義域 $0 \leq x \leq a$ の内部に頂点の $x$ 座標 $x=2$ が含まれます。下に凸の放物線なので、頂点で $f(x)$ は定義域全体の中で最も小さい値をとります。

最小値は、

$f(2) = \left(2-2\right)^2 + 1 = 1$

最大値については、定義域の両端である $x=0$ と $x=a$ のうち、$f(x)$ の値が大きい方を選ぶ必要があります。そこで、$f(a)$ と $f(0)$ の差を計算して比べます。

$f(a) - f(0) = \left(a^2-4a+5\right) - 5 = a^2 - 4a$

右辺を因数分解すると、

$f(a) - f(0) = a\left(a-4\right)$

いま考えている範囲は $2

したがって、この範囲では $f(0)=5$ の方が大きい(または等しい)ので、最大値は、

$f(0) = 5$

場合3: $a > 4$ のとき

場合2と同じく、頂点 $x=2$ は定義域の内部に含まれるので、最小値は場合2と同じく $f(2)=1$ です。

最大値については、場合2で作った式 $f(a)-f(0) = a\left(a-4\right)$ を再び使います。$a>4$ の範囲では $a$ は正、$a-4$ も正なので、$f(a)-f(0) = a\left(a-4\right) > 0$、つまり $f(a) > f(0)$ です。

したがって、この範囲では $f(a)$ の方が大きいので、最大値は、

$f(a) = a^2 - 4a + 5$

最小値は、

$f(2) = 1$

まとめ

以上をまとめると、答えは次のようになります。

• $0 < a \leq 2$ のとき、最大値は $f(0)=5$、最小値は $f(a)=a^2-4a+5$
• $2 < a \leq 4$ のとき、最大値は $f(0)=5$、最小値は $f(2)=1$
• $4 < a$ のとき、最大値は $f(a)=a^2-4a+5$、最小値は $f(2)=1$

このように、境目の値($a=2$ と $a=4$)を境にして、最大値・最小値を与える $x$ の位置が入れ替わっていく様子をつかむことが、このタイプの問題を解くコツです。

(1) 平均値 $\bar{x}$

平均値は、すべてのデータの値を足し合わせて、データの個数で割ることで求められます。データの個数は $8$ 人分なので $n=8$ です。まず、8人分の得点をすべて足し合わせます。

$4+5+6+6+7+7+8+9$

左から順に計算していきます。

$4+5=9$

$9+6=15$

$15+6=21$

$21+7=28$

$28+7=35$

$35+8=43$

$43+9=52$

したがって、合計は $52$ 点です。これをデータの個数 $8$ で割ると、平均値が求まります。

$\bar{x} = \frac{52}{8} = 6.5$

したがって、平均値は $6.5$ 点です。

(2) 中央値

中央値を求めるには、まずデータを大きさの順に並べます。今回はすでに小さい順に並んでいるので、そのまま使えます。

$4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9$

データの個数は $n=8$ で、偶数です。データの個数が偶数のときは、中央値はちょうど真ん中に来る2つの値の平均で求めます。8個のデータの場合、真ん中に来るのは4番目と5番目の値です。

前から数えて、1番目は $4$、2番目は $5$、3番目は $6$、4番目は $6$、5番目は $7$ です。したがって、4番目の値は $6$、5番目の値は $7$ です。

$\text{中央値} = \frac{6+7}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$

したがって、中央値は $6.5$ 点です。今回はたまたま平均値と同じ値になりましたが、これは偶然であり、一般には平均値と中央値は異なる値になります。

(3) 分散 $s^2$ と標準偏差 $s$

分散とは、それぞれのデータの値が平均値からどれくらい離れているかを表す量で、次の式で定義されます。

$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2$

この式は、次のように書き換えることができることが知られています。

$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - \bar{x}^2$

つまり、「2乗の平均」から「平均の2乗」を引いた値が分散に等しくなります。今回の問題では、$\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_i^2 = 356$ が最初から与えられているので、この書き換えた式を使うと計算が楽になります。

$n=8$、$\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_i^2=356$、そして(1)で求めた $\bar{x}=6.5$ を代入します。

$s^2 = \frac{356}{8} - 6.5^2$

まず、$\dfrac{356}{8}$ を計算します。

$\frac{356}{8} = 44.5$

次に、$6.5^2$ を計算します。$6.5^2 = 6.5 \times 6.5$ なので、

$6.5 \times 6.5 = 42.25$

したがって、

$s^2 = 44.5 - 42.25 = 2.25$

分散は $s^2 = 2.25$ です。

標準偏差 $s$ は、分散の正の平方根で求められます。

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{2.25}$

ここで、$1.5^2 = 1.5 \times 1.5 = 2.25$ であることに気づけば、

$s = 1.5$

したがって、標準偏差は $s=1.5$ 点です。標準偏差は元のデータと同じ単位(この場合は「点」)を持つ量で、データが平均値のまわりにどれくらいばらついているかの目安になります。