公式の証明・導出
余弦定理の証明
関連単元: 数学I 図形と計量
証明する内容
三角形ABCにおいて、頂点Aに向かい合う辺BCの長さを$a$、頂点Bに向かい合う辺CAの長さを$b$、頂点Cに向かい合う辺ABの長さを$c$とします。
このとき、次の等式が成り立ちます。
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
これが余弦定理です。もし角Aが直角であれば $\cos A = \cos 90° = 0$ なので、この式は $a^2=b^2+c^2$ となり、三平方の定理と一致します。つまり余弦定理は、三平方の定理を、直角ではない一般の角を持つ三角形にも使えるように拡張したものだと考えることができます。
証明
頂点Cから、直線AB(辺ABを含む直線)に向かって垂線を下ろし、その足(垂線と直線ABの交点)をHとします。角Aの大きさによって、Hが線分AB上のどこに来るかが変わるので、場合を分けて考えます。
場合1:角Aが鋭角($0°
角Aが鋭角のとき、三角形ACHにおいて、角Hは直角(垂線の定義より$\angle AHC=90°$)、角Aはもとの三角形の角Aと同じものです。この直角三角形ACHにおいて、斜辺はAC(長さ$b$)なので、三角比の定義より、
$AH = AC\cos A = b\cos A$
$CH = AC\sin A = b\sin A$
が成り立ちます。角Aが鋭角なので$\cos A>0$であり、$AH=b\cos A>0$となります。これは、点Hが点Aから見て点Bと同じ向きの方向にあることを意味します(点Hが線分ABの内側にあるか、線分ABを延長した先にあるかはこの時点では分かりませんが、以下の計算はどちらであっても成り立ちます)。
次に、点Bと点Hの間の距離BHを考えます。点Aを基準にして直線AB上の位置を数直線のように考えると、点Bの位置はAから距離$c$、点Hの位置はAから距離$b\cos A$なので、
$BH = |c - b\cos A|$
です。ここで絶対値がついているのは、$c$と$b\cos A$のどちらが大きいか(つまりHが線分ABの内側にあるか、Bを越えた外側にあるか)が分からないためです。しかし、この後BHは2乗して使うので、絶対値の中身の符号はどちらでも構いません。実際、
$BH^2 = (c-b\cos A)^2$
が成り立ちます(絶対値の2乗は中身の2乗に等しいため)。
さて、三角形BCHに注目します。この三角形は、Hで直角になっている直角三角形です($\angle BHC=90°$)。三平方の定理より、
$BC^2 = BH^2 + CH^2$
左辺のBCはもとの三角形の辺$a$なので、$BC^2=a^2$です。右辺に、先ほど求めた$BH^2=(c-b\cos A)^2$と$CH=b\sin A$を代入すると、
$a^2 = (c-b\cos A)^2 + (b\sin A)^2$
この右辺を展開します。まず $(c-b\cos A)^2$ を展開すると、
$(c-b\cos A)^2 = c^2 - 2c(b\cos A) + (b\cos A)^2 = c^2 - 2bc\cos A + b^2\cos^2 A$
また、$(b\sin A)^2 = b^2\sin^2 A$ です。これらを足し合わせると、
$a^2 = c^2 - 2bc\cos A + b^2\cos^2 A + b^2\sin^2 A$
右辺の$b^2\cos^2 A$と$b^2\sin^2 A$を$b^2$でくくると、
$a^2 = c^2 - 2bc\cos A + b^2(\cos^2 A + \sin^2 A)$
ここで、三角比の基本的な関係式である $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を使うと、
$a^2 = c^2 - 2bc\cos A + b^2 \times 1 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
が得られます。これで、角Aが鋭角の場合に余弦定理が証明できました。
場合2:角Aが鈍角($90°
角Aが鈍角のとき、三角形ABCの内部で角Aが広がっているため、頂点Cから直線ABへ下ろした垂線の足Hは、線分ABの上には来ず、点Aを越えて線分BAを延長した先(点Aから見て点Bとは反対側)に来ます。
この場合、直角三角形AHCに注目すると、直角はH(つまり$\angle AHC=90°$)であり、この三角形の点Aにおける角、つまり$\angle HAC$は、もとの角$A=\angle BAC$の外角にあたります。直線BA(点Bと点Aを通る直線)上で、点Hは点Aに関して点Bと反対側にあるので、$\angle BAC$と$\angle HAC$を合わせるとちょうど一直線($180°$)になります。したがって、
$\angle HAC = 180° - A$
です。この直角三角形AHCにおいて、斜辺はAC(長さ$b$)なので、
$AH = AC\cos(\angle HAC) = b\cos(180°-A)$
$CH = AC\sin(\angle HAC) = b\sin(180°-A)$
ここで、次の2つの性質を使います。
$\cos(180°-\theta) = -\cos\theta, \qquad \sin(180°-\theta)=\sin\theta$
これらは、単位円周上で角$\theta$に対応する点と、角$180°-\theta$に対応する点が、円の中心を通る縦の軸(y軸)に関して線対称の位置にあることから成り立ちます。線対称な2点は$y$座標(サインの値)が等しく、$x$座標(コサインの値)は符号だけが反対になるからです。
これを使うと、
$AH = b\cos(180°-A) = b\times(-\cos A) = -b\cos A$
$CH = b\sin(180°-A) = b\sin A$
角Aは鈍角なので$\cos A<0$であり、$AH=-b\cos A>0$となって、確かにAHは正の長さになっています(符号が合っていることが確認できます)。
次に、点Bと点Hの間の距離BHを考えます。点Hは、点Aから見て点Bとは反対側に、距離$-b\cos A$だけ離れた位置にあります。したがって、BからHまでの距離は、BからAまでの距離$c$と、AからHまでの距離$-b\cos A$を足したものになります。
$BH = c + (-b\cos A) = c - b\cos A$
これは場合1で得た式($BH=|c-b\cos A|$の中身)と同じ形をしています。実際、角Aが鈍角のとき$\cos A<0$なので$-b\cos A>0$となり、$c-b\cos A = c+(\text{正の数})>0$となるため、絶対値を外して$BH=c-b\cos A$とそのまま書いてよいことが分かります。
さて、三角形BCHに注目します。この三角形は、Hで直角になっている直角三角形です($\angle BHC=90°$)。三平方の定理より、
$BC^2 = BH^2+CH^2$
左辺は$a^2$、右辺に$BH=c-b\cos A$、$CH=b\sin A$を代入すると、
$a^2 = (c-b\cos A)^2 + (b\sin A)^2$
この式は場合1で得た式と全く同じ形です。したがって、場合1と同じように展開・整理すると、
$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos A$
が得られます。これで、角Aが鈍角の場合にも余弦定理が証明できました。
場合3:角Aが直角($A=90°$)のとき
この場合、垂線の足Hはそのまま点Aと一致します(なぜなら、辺CAはもとから辺ABに垂直だからです)。よって$AH=0$、$CH=CA=b$であり、$BH=AB=c$です。三平方の定理より、
$a^2=BC^2=BH^2+CH^2=c^2+b^2$
一方、$\cos A=\cos 90°=0$なので、
$b^2+c^2-2bc\cos A = b^2+c^2-2bc\times 0 = b^2+c^2$
となり、両者は一致します。これで、角Aが直角の場合も余弦定理が成り立つことが確認できました。
以上、角Aが鋭角・鈍角・直角のすべての場合について $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ が成り立つことが示されました。三角形の内角は必ずこの3つのいずれかに当てはまるので、これですべての三角形について余弦定理が証明されたことになります。
この証明のポイント
角が鋭角か鈍角かによって垂線の足の位置が変わってしまう場合、それぞれの配置を丁寧に図示(または文章で描写)して個別に計算し、最終的に同じ式にたどり着くことを確かめるという進め方は、図形の証明の基本的な型です。また、$180°-\theta$の三角比を$\theta$の三角比で表す公式($\cos(180°-\theta)=-\cos\theta$、$\sin(180°-\theta)=\sin\theta$)を使うことで、鈍角の場合の計算を鋭角の場合と同じ形に帰着させるテクニックは、他の三角比の証明でも応用できます。
角Aが鋭角のとき、三角形ACHにおいて、角Hは直角(垂線の定義より$\angle AHC=90°$)、角Aはもとの三角形の角Aと同じものです。この直角三角形ACHにおいて、斜辺はAC(長さ$b$)なので、三角比の定義より、
$AH = AC\cos A = b\cos A$
$CH = AC\sin A = b\sin A$
が成り立ちます。角Aが鋭角なので$\cos A>0$であり、$AH=b\cos A>0$となります。これは、点Hが点Aから見て点Bと同じ向きの方向にあることを意味します(点Hが線分ABの内側にあるか、線分ABを延長した先にあるかはこの時点では分かりませんが、以下の計算はどちらであっても成り立ちます)。
次に、点Bと点Hの間の距離BHを考えます。点Aを基準にして直線AB上の位置を数直線のように考えると、点Bの位置はAから距離$c$、点Hの位置はAから距離$b\cos A$なので、
$BH = |c - b\cos A|$
です。ここで絶対値がついているのは、$c$と$b\cos A$のどちらが大きいか(つまりHが線分ABの内側にあるか、Bを越えた外側にあるか)が分からないためです。しかし、この後BHは2乗して使うので、絶対値の中身の符号はどちらでも構いません。実際、
$BH^2 = (c-b\cos A)^2$
が成り立ちます(絶対値の2乗は中身の2乗に等しいため)。
さて、三角形BCHに注目します。この三角形は、Hで直角になっている直角三角形です($\angle BHC=90°$)。三平方の定理より、
$BC^2 = BH^2 + CH^2$
左辺のBCはもとの三角形の辺$a$なので、$BC^2=a^2$です。右辺に、先ほど求めた$BH^2=(c-b\cos A)^2$と$CH=b\sin A$を代入すると、
$a^2 = (c-b\cos A)^2 + (b\sin A)^2$
この右辺を展開します。まず $(c-b\cos A)^2$ を展開すると、
$(c-b\cos A)^2 = c^2 - 2c(b\cos A) + (b\cos A)^2 = c^2 - 2bc\cos A + b^2\cos^2 A$
また、$(b\sin A)^2 = b^2\sin^2 A$ です。これらを足し合わせると、
$a^2 = c^2 - 2bc\cos A + b^2\cos^2 A + b^2\sin^2 A$
右辺の$b^2\cos^2 A$と$b^2\sin^2 A$を$b^2$でくくると、
$a^2 = c^2 - 2bc\cos A + b^2(\cos^2 A + \sin^2 A)$
ここで、三角比の基本的な関係式である $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を使うと、
$a^2 = c^2 - 2bc\cos A + b^2 \times 1 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
が得られます。これで、角Aが鋭角の場合に余弦定理が証明できました。
場合2:角Aが鈍角($90°
角Aが鈍角のとき、三角形ABCの内部で角Aが広がっているため、頂点Cから直線ABへ下ろした垂線の足Hは、線分ABの上には来ず、点Aを越えて線分BAを延長した先(点Aから見て点Bとは反対側)に来ます。
この場合、直角三角形AHCに注目すると、直角はH(つまり$\angle AHC=90°$)であり、この三角形の点Aにおける角、つまり$\angle HAC$は、もとの角$A=\angle BAC$の外角にあたります。直線BA(点Bと点Aを通る直線)上で、点Hは点Aに関して点Bと反対側にあるので、$\angle BAC$と$\angle HAC$を合わせるとちょうど一直線($180°$)になります。したがって、
$\angle HAC = 180° - A$
です。この直角三角形AHCにおいて、斜辺はAC(長さ$b$)なので、
$AH = AC\cos(\angle HAC) = b\cos(180°-A)$
$CH = AC\sin(\angle HAC) = b\sin(180°-A)$
ここで、次の2つの性質を使います。
$\cos(180°-\theta) = -\cos\theta, \qquad \sin(180°-\theta)=\sin\theta$
これらは、単位円周上で角$\theta$に対応する点と、角$180°-\theta$に対応する点が、円の中心を通る縦の軸(y軸)に関して線対称の位置にあることから成り立ちます。線対称な2点は$y$座標(サインの値)が等しく、$x$座標(コサインの値)は符号だけが反対になるからです。
これを使うと、
$AH = b\cos(180°-A) = b\times(-\cos A) = -b\cos A$
$CH = b\sin(180°-A) = b\sin A$
角Aは鈍角なので$\cos A<0$であり、$AH=-b\cos A>0$となって、確かにAHは正の長さになっています(符号が合っていることが確認できます)。
次に、点Bと点Hの間の距離BHを考えます。点Hは、点Aから見て点Bとは反対側に、距離$-b\cos A$だけ離れた位置にあります。したがって、BからHまでの距離は、BからAまでの距離$c$と、AからHまでの距離$-b\cos A$を足したものになります。
$BH = c + (-b\cos A) = c - b\cos A$
これは場合1で得た式($BH=|c-b\cos A|$の中身)と同じ形をしています。実際、角Aが鈍角のとき$\cos A<0$なので$-b\cos A>0$となり、$c-b\cos A = c+(\text{正の数})>0$となるため、絶対値を外して$BH=c-b\cos A$とそのまま書いてよいことが分かります。
さて、三角形BCHに注目します。この三角形は、Hで直角になっている直角三角形です($\angle BHC=90°$)。三平方の定理より、
$BC^2 = BH^2+CH^2$
左辺は$a^2$、右辺に$BH=c-b\cos A$、$CH=b\sin A$を代入すると、
$a^2 = (c-b\cos A)^2 + (b\sin A)^2$
この式は場合1で得た式と全く同じ形です。したがって、場合1と同じように展開・整理すると、
$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos A$
が得られます。これで、角Aが鈍角の場合にも余弦定理が証明できました。
場合3:角Aが直角($A=90°$)のとき
この場合、垂線の足Hはそのまま点Aと一致します(なぜなら、辺CAはもとから辺ABに垂直だからです)。よって$AH=0$、$CH=CA=b$であり、$BH=AB=c$です。三平方の定理より、
$a^2=BC^2=BH^2+CH^2=c^2+b^2$
一方、$\cos A=\cos 90°=0$なので、
$b^2+c^2-2bc\cos A = b^2+c^2-2bc\times 0 = b^2+c^2$
となり、両者は一致します。これで、角Aが直角の場合も余弦定理が成り立つことが確認できました。
以上、角Aが鋭角・鈍角・直角のすべての場合について $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ が成り立つことが示されました。三角形の内角は必ずこの3つのいずれかに当てはまるので、これですべての三角形について余弦定理が証明されたことになります。
この証明のポイント
角が鋭角か鈍角かによって垂線の足の位置が変わってしまう場合、それぞれの配置を丁寧に図示(または文章で描写)して個別に計算し、最終的に同じ式にたどり着くことを確かめるという進め方は、図形の証明の基本的な型です。また、$180°-\theta$の三角比を$\theta$の三角比で表す公式($\cos(180°-\theta)=-\cos\theta$、$\sin(180°-\theta)=\sin\theta$)を使うことで、鈍角の場合の計算を鋭角の場合と同じ形に帰着させるテクニックは、他の三角比の証明でも応用できます。
角Aが鈍角のとき、三角形ABCの内部で角Aが広がっているため、頂点Cから直線ABへ下ろした垂線の足Hは、線分ABの上には来ず、点Aを越えて線分BAを延長した先(点Aから見て点Bとは反対側)に来ます。
この場合、直角三角形AHCに注目すると、直角はH(つまり$\angle AHC=90°$)であり、この三角形の点Aにおける角、つまり$\angle HAC$は、もとの角$A=\angle BAC$の外角にあたります。直線BA(点Bと点Aを通る直線)上で、点Hは点Aに関して点Bと反対側にあるので、$\angle BAC$と$\angle HAC$を合わせるとちょうど一直線($180°$)になります。したがって、
$\angle HAC = 180° - A$
です。この直角三角形AHCにおいて、斜辺はAC(長さ$b$)なので、
$AH = AC\cos(\angle HAC) = b\cos(180°-A)$
$CH = AC\sin(\angle HAC) = b\sin(180°-A)$
ここで、次の2つの性質を使います。
$\cos(180°-\theta) = -\cos\theta, \qquad \sin(180°-\theta)=\sin\theta$
これらは、単位円周上で角$\theta$に対応する点と、角$180°-\theta$に対応する点が、円の中心を通る縦の軸(y軸)に関して線対称の位置にあることから成り立ちます。線対称な2点は$y$座標(サインの値)が等しく、$x$座標(コサインの値)は符号だけが反対になるからです。
これを使うと、
$AH = b\cos(180°-A) = b\times(-\cos A) = -b\cos A$
$CH = b\sin(180°-A) = b\sin A$
角Aは鈍角なので$\cos A<0$であり、$AH=-b\cos A>0$となって、確かにAHは正の長さになっています(符号が合っていることが確認できます)。
次に、点Bと点Hの間の距離BHを考えます。点Hは、点Aから見て点Bとは反対側に、距離$-b\cos A$だけ離れた位置にあります。したがって、BからHまでの距離は、BからAまでの距離$c$と、AからHまでの距離$-b\cos A$を足したものになります。
$BH = c + (-b\cos A) = c - b\cos A$
これは場合1で得た式($BH=|c-b\cos A|$の中身)と同じ形をしています。実際、角Aが鈍角のとき$\cos A<0$なので$-b\cos A>0$となり、$c-b\cos A = c+(\text{正の数})>0$となるため、絶対値を外して$BH=c-b\cos A$とそのまま書いてよいことが分かります。
さて、三角形BCHに注目します。この三角形は、Hで直角になっている直角三角形です($\angle BHC=90°$)。三平方の定理より、
$BC^2 = BH^2+CH^2$
左辺は$a^2$、右辺に$BH=c-b\cos A$、$CH=b\sin A$を代入すると、
$a^2 = (c-b\cos A)^2 + (b\sin A)^2$
この式は場合1で得た式と全く同じ形です。したがって、場合1と同じように展開・整理すると、
$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos A$
が得られます。これで、角Aが鈍角の場合にも余弦定理が証明できました。
場合3:角Aが直角($A=90°$)のとき
この場合、垂線の足Hはそのまま点Aと一致します(なぜなら、辺CAはもとから辺ABに垂直だからです)。よって$AH=0$、$CH=CA=b$であり、$BH=AB=c$です。三平方の定理より、
$a^2=BC^2=BH^2+CH^2=c^2+b^2$
一方、$\cos A=\cos 90°=0$なので、
$b^2+c^2-2bc\cos A = b^2+c^2-2bc\times 0 = b^2+c^2$
となり、両者は一致します。これで、角Aが直角の場合も余弦定理が成り立つことが確認できました。
以上、角Aが鋭角・鈍角・直角のすべての場合について $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ が成り立つことが示されました。三角形の内角は必ずこの3つのいずれかに当てはまるので、これですべての三角形について余弦定理が証明されたことになります。
この証明のポイント
角が鋭角か鈍角かによって垂線の足の位置が変わってしまう場合、それぞれの配置を丁寧に図示(または文章で描写)して個別に計算し、最終的に同じ式にたどり着くことを確かめるという進め方は、図形の証明の基本的な型です。また、$180°-\theta$の三角比を$\theta$の三角比で表す公式($\cos(180°-\theta)=-\cos\theta$、$\sin(180°-\theta)=\sin\theta$)を使うことで、鈍角の場合の計算を鋭角の場合と同じ形に帰着させるテクニックは、他の三角比の証明でも応用できます。