等比数列の和の公式の証明

証明する内容

初項 $a$、公比 $r$ の等比数列の、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とします。つまり、

$ S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} $

です。このとき、次のことが成り立ちます。

$r \neq 1$ のとき、

$ S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} $

$r = 1$ のとき、

$ S_n = na $

まず、公比が $1$ の場合を考えます。このとき、数列のどの項も $a \cdot 1^{k} = a$ となり、すべて同じ値 $a$ です。したがって、$n$ 個の項をすべて足し合わせると、

$ S_n = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{n\text{個}} = na $

となります。これで $r=1$ の場合が示されました。

次に、公比が $1$ でない場合を考えます。ここでは「$S_n$ と、それを $r$ 倍した $rS_n$ の差を取る」という手法を使います。

まず、$S_n$ を項をすべて書き出した形で用意します。

$ S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-2} + ar^{n-1} \quad \cdots ① $

次に、①の式の両辺に $r$ をかけます。

$ rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1} + ar^{n} \quad \cdots ② $

ここで、①から②を引き算します。左辺どうし、右辺どうしをそれぞれ引きます。

$ S_n - rS_n = \left(a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}\right) - \left(ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n}\right) $

右辺を整理するために、共通して現れる項に注目します。①の右辺にある $ar, ar^2, \ldots, ar^{n-1}$ という項は、②の右辺にもすべて同じ形で現れています。したがって、引き算をすると、これらの共通項はすべて打ち消し合って消えます。

具体的に対応関係を確認すると、①の第2項 $ar$ と②の第1項 $ar$ が打ち消し合い、①の第3項 $ar^2$ と②の第2項 $ar^2$ が打ち消し合い、以下同様に、①の第 $n$ 項 $ar^{n-1}$ と②の第 $(n-1)$ 項 $ar^{n-1}$ が打ち消し合います。

結局、打ち消されずに残るのは、①の第1項である $a$ と、②の最後の項である $ar^n$ の、符号がマイナスになったもの、つまり $-ar^n$ だけです。したがって、

$ S_n - rS_n = a - ar^n $

となります。

左辺を $S_n$ でくくると、

$ S_n(1-r) = a(1-r^n) $

となります。ここで、いま考えているのは $r \neq 1$ の場合なので、$1-r \neq 0$ であり、両辺を $1-r$ で割ることができます。

$ S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} $

これで、$r \neq 1$ の場合の公式が示されました。

以上、場合1と場合2をあわせて、等比数列の和の公式が証明されました。

「同じ和を公比倍したものを作り、もとの和との差を取ることで、途中の項をすべて打ち消し合わせて消してしまう」という手法は、等比数列の和に限らず、後で学ぶ等比数列の応用問題や、数列の和を工夫して求める問題(いわゆる差分を利用する手法)でも繰り返し登場する重要な考え方です。