点と直線の距離公式の証明

証明する内容

座標平面上に、直線 $\ell: ax+by+c=0$($a,b,c$は定数で、$a$と$b$は同時には$0$にならないとします)と、点$\mathrm{P}(x_0,y_0)$があるとします。このとき、点Pと直線$\ell$との距離$d$(点Pから直線$\ell$に下ろした垂線の長さ)は、次の式で求められます。

$d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

直感的には、「点の座標と直線の方程式の係数を、この式にそのまま当てはめるだけで、垂線を実際に作図しなくても、点と直線の距離が計算できる」ということを意味しています。

証明

準備:直線に垂直なベクトルを見つける

まず、直線$\ell: ax+by+c=0$上に2つの異なる点をとり、それらを結ぶベクトル(直線の方向を表すベクトル)が、$(a,b)$に垂直であることを確認します。

直線$\ell$上の2点を$(p_1,q_1)$、$(p_2,q_2)$とすると、どちらも直線の方程式を満たすので、

$ap_1+bq_1+c=0, \qquad ap_2+bq_2+c=0$

の2つの式が成り立ちます。辺々を引くと、

$a(p_1-p_2)+b(q_1-q_2) = 0$

ここで、$(p_1-p_2,\,q_1-q_2)$ は、直線$\ell$上の2点を結ぶベクトル、つまり直線$\ell$の方向を表すベクトルです。このベクトルを$(u,v)$とおくと、上の式は

$au+bv=0$

すなわち、

$(a,b)\cdot(u,v) = au+bv = 0$

となります。2つのベクトルの内積(対応する成分どうしをかけて足したもの)が$0$になるとき、その2つのベクトルは垂直であるという性質があるので、ベクトル$(a,b)$は、直線$\ell$の方向を表すベクトル$(u,v)$に垂直である、つまり、ベクトル$(a,b)$は直線$\ell$に垂直であることが分かりました。

ステップ1:垂線の足を、パラメータ$t$を使って表す

点Pから直線$\ell$に下ろした垂線の足(垂線と直線$\ell$の交点)をHとします。Hは、点Pから、直線$\ell$に垂直な方向、つまりベクトル$(a,b)$の方向(またはその反対向き)に進んだ先にある点です。したがって、ある実数$t$を使って、点Hの座標は

$\mathrm{H} = (x_0+ta,\ y_0+tb)$

と表せます。$t$の値によって、点$(x_0+ta,\,y_0+tb)$は、点Pを通り直線$\ell$に垂直な直線上のすべての点を動きます。この中で、実際に直線$\ell$の上にも乗っている点(つまり垂線の足H)を見つけるために、$t$の値を決定します。

ステップ2:$t$の値を求める

点Hは直線$\ell$上にあるので、Hの座標を直線の方程式 $ax+by+c=0$ に代入すると成り立ちます。

$a(x_0+ta)+b(y_0+tb)+c=0$

左辺を展開します。

$ax_0+a^2t+by_0+b^2t+c=0$

$t$を含む項をまとめます。

$ax_0+by_0+c+(a^2+b^2)t=0$

$t$について解くために、$(a^2+b^2)t$以外の項を右辺に移項します。

$(a^2+b^2)t = -(ax_0+by_0+c)$

$a$と$b$は同時には$0$にならないと仮定しているので、$a^2+b^2>0$であり、$0$で割ることにはなりません。両辺を$a^2+b^2$で割ると、

$t = -\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$

これで$t$の値が求まりました。

ステップ3:点Pと点Hの距離を計算する

点Pと点Hの間の距離$d$を求めます。$\mathrm{H}-\mathrm{P} = (ta,\,tb) = t(a,b)$ なので、PからHまでのベクトルは、ベクトル$(a,b)$を$t$倍したものです。ベクトルを実数倍すると、その長さはもとのベクトルの長さの$|t|$倍になるので(実数倍の$t$が負の数であっても、長さは負にはならないため絶対値をつけます)、

$d = |\mathrm{PH}| = |t|\times\sqrt{a^2+b^2}$

ここで、$\sqrt{a^2+b^2}$は、ベクトル$(a,b)$自身の長さです(ベクトル$(p,q)$の長さは$\sqrt{p^2+q^2}$で計算できます)。

ステップ2で求めた $t=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$ を代入します。

$d = \left|-\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}\right|\times\sqrt{a^2+b^2}$

絶対値の中の$-1$倍は、絶対値の値に影響しないので(符号を反転させても絶対値は変わらないため)、

$d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{a^2+b^2}\times\sqrt{a^2+b^2}$

(ここで、$a^2+b^2>0$なので、絶対値記号は分母の$a^2+b^2$の外に出す必要はなく、$\left|\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}\right|=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{a^2+b^2}$ となります。)

最後に、右辺を整理します。$\sqrt{a^2+b^2}$を$a^2+b^2$で割ると、$\sqrt{a^2+b^2}$が1つ残ります。実際、$a^2+b^2 = \sqrt{a^2+b^2}\times\sqrt{a^2+b^2}$ なので、

$\frac{|ax_0+by_0+c|}{a^2+b^2}\times\sqrt{a^2+b^2} = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}\times\sqrt{a^2+b^2}}\times\sqrt{a^2+b^2} = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

したがって、

$d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

が得られました。これで点と直線の距離の公式が証明できました。

検算

直線 $3x+4y-5=0$($a=3,b=4,c=-5$)と、点$\mathrm{P}(0,0)$との距離を求めてみます。公式に当てはめると、

$d = \frac{|3\times0+4\times0-5|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{9+16}} = \frac{5}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$

実際に、垂線の足Hを求めると、$t=-\dfrac{3\times0+4\times0-5}{3^2+4^2}=-\dfrac{-5}{25}=\dfrac{1}{5}=0.2$ なので、

$\mathrm{H} = (0+0.2\times3,\ 0+0.2\times4) = (0.6,\ 0.8)$

このHが直線上にあることを確認すると、$3\times0.6+4\times0.8-5=1.8+3.2-5=0$ となり、確かに直線上にあります。そして、PとHの距離は、

$\sqrt{(0.6-0)^2+(0.8-0)^2} = \sqrt{0.36+0.64} = \sqrt{1} = 1$

となり、公式から求めた$d=1$と一致することが確認できました。

この証明のポイント

直線 $ax+by+c=0$ に垂直な方向がベクトル$(a,b)$そのもので表されるという事実を使い、点Pから垂線の方向に進んだ先の点を文字$t$を使って表してから、「その点が直線上にある」という条件で$t$を決定するという進め方は、垂線の足を具体的に作図せずに求めるための、座標・ベクトルを使った図形の問題全般で応用できる強力な考え方です。