対数の性質(積・商・累乗)の証明

証明する内容

$a$を$a>0$かつ$a\neq1$を満たす定数(対数の底)とし、$M>0$、$N>0$、$r$を実数とします。このとき、次の3つの性質が成り立ちます。

$\log_a MN = \log_a M + \log_a N \qquad \text{(積の性質)}$

$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N \qquad \text{(商の性質)}$

$\log_a M^r = r\log_a M \qquad \text{(累乗の性質)}$

ここで、$\log_a x$(「$a$を底とする$x$の対数」と読みます)とは、$a$を何乗すれば$x$になるか、を表す数のことで、次のように定義されます。

$y=\log_a x \iff a^y=x \qquad (x>0)$

これらの性質は、直感的には、「かけ算・わり算・累乗という指数の世界での計算が、対数をとることによって、足し算・引き算・かけ算という、より簡単な計算に置き換えられる」ということを意味しています。

証明

証明の中では、指数法則(指数が実数の範囲であっても成り立つ、指数計算の基本規則)を使います。$a>0$のとき、任意の実数$p$、$q$について、次の3つが成り立つことを、既知の事実として使います。

$a^p\times a^q = a^{p+q}, \qquad \frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}, \qquad (a^p)^r=a^{pr}$

積の性質の証明

まず、$M$と$N$の対数を、それぞれ文字でおきます。

$p = \log_a M, \qquad q = \log_a N$

対数の定義より、これは次のように書き換えられます。

$a^p = M, \qquad a^q = N$

このとき、$MN$を計算すると、

$MN = a^p\times a^q$

指数法則 $a^p\times a^q=a^{p+q}$ を使うと、

$MN = a^{p+q}$

この式は、「$a$を$(p+q)$乗すると$MN$になる」ということを表しています。これは、対数の定義($y=\log_a x \iff a^y=x$)にちょうど当てはまる形なので、

$\log_a MN = p+q$

が成り立ちます。ここで、$p=\log_a M$、$q=\log_a N$ であったことを思い出すと、

$\log_a MN = \log_a M + \log_a N$

が得られます。これで積の性質が証明できました。

商の性質の証明

積の性質と同じく、$p=\log_a M$、$q=\log_a N$ とおくと、$a^p=M$、$a^q=N$ です。このとき、$\dfrac{M}{N}$ を計算すると、

$\frac{M}{N} = \frac{a^p}{a^q}$

指数法則 $\dfrac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$ を使うと、

$\frac{M}{N} = a^{p-q}$

この式は、「$a$を$(p-q)$乗すると$\dfrac{M}{N}$になる」ということを表しているので、対数の定義より、

$\log_a\frac{M}{N} = p-q$

$p=\log_a M$、$q=\log_a N$ を代入すると、

$\log_a\frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$

が得られます。これで商の性質が証明できました。

累乗の性質の証明

再び、$p=\log_a M$ とおくと、$a^p=M$ です。このとき、$M^r$を計算すると、

$M^r = (a^p)^r$

指数法則 $(a^p)^r=a^{pr}$ を使うと、

$M^r = a^{pr}$

この式は、「$a$を$(pr)$乗すると$M^r$になる」ということを表しているので、対数の定義より、

$\log_a M^r = pr$

かけ算の順序を入れ替えて$pr=rp$と書き、$p=\log_a M$を代入すると、

$\log_a M^r = rp = r\log_a M$

が得られます。これで累乗の性質も証明できました。

検算

$a=2$、$M=8$、$N=4$ の場合で確かめます。$\log_2 8=3$(なぜなら$2^3=8$)、$\log_2 4=2$(なぜなら$2^2=4$)です。

積の性質:$MN=8\times4=32$ で、$\log_2 32=5$(なぜなら$2^5=32$)です。一方、$\log_2 8+\log_2 4=3+2=5$ となり、一致しています。

商の性質:$\dfrac{M}{N}=\dfrac{8}{4}=2$ で、$\log_2 2=1$(なぜなら$2^1=2$)です。一方、$\log_2 8-\log_2 4=3-2=1$ となり、一致しています。

累乗の性質:$r=2$として$M^r=8^2=64$ で、$\log_2 64=6$(なぜなら$2^6=64$)です。一方、$r\log_2 M=2\times3=6$ となり、一致しています。

すべて証明した性質と一致することが確認できました。

この証明のポイント

対数の性質は、どれも「対数をとった変数を文字でおいて、対数の定義($a^{(\text{対数の値})}=(\text{もとの数})$)を使って指数の形に戻し、指数法則を適用してから、もう一度対数の定義を使って対数の形に戻す」という同じ手順で証明できます。この「対数と指数を行き来する」という発想は、対数を含む方程式や不等式を解くときにも中心的な役割を果たす、対数を扱ううえで最も基本的な考え方です。