sin xの導関数の証明

証明する内容

すべての実数 $x$ について、

$ (\sin x)' = \cos x $

が成り立ちます。つまり、$\sin x$ という関数を微分すると $\cos x$ になる、という公式です。

この証明では、次の2つの極限の事実を使います。

$ \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} = 1 \qquad \cdots [\text{既知の事実}] $

これは、はさみうちの原理を使って別途証明されている事実です。もう1つ、

$ \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h} = 0 $

という極限も必要になりますが、これは証明の途中で、上の事実から導きます。

証明

ステップ1: 微分の定義を書く

$f(x)=\sin x$ とおきます。導関数の定義から、

$ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} $

を計算すればよいことになります。

ステップ2: 加法定理で $\sin(x+h)$ を展開する

正弦の加法定理

$ \sin(x+h) = \sin x\cos h+\cos x\sin h $

を使って、分子の $\sin(x+h)$ を展開します。

$ \sin(x+h)-\sin x = \sin x\cos h+\cos x\sin h - \sin x $

右辺のうち、$\sin x\cos h$ と $-\sin x$ に共通する $\sin x$ をくくり出します。

$ = \sin x(\cos h-1) + \cos x\sin h $

ステップ3: 分数の形にして分ける

ステップ2の結果を、もとの分数に代入します。

$ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h} $

分子が2つの項の和なので、分数を分けます。

$ f'(x) = \lim_{h\to 0}\left[\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h}\right] $

ここで、$\sin x$ と $\cos x$ は $h$ を含まない定数(極限を考えている変数は $h$ であり、$x$ は固定して考えています)なので、それぞれ極限の外に出すことができます。

$ f'(x) = \sin x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h} + \cos x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} $

後半の $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}$ は、既知の事実よりすでに $1$ とわかっています。前半の $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}$ については、次のステップで計算します。

ステップ4: $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}$ を求める

この極限を、既知の事実 $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1$ に帰着させる形に変形します。分母・分子に $(\cos h+1)$ をかけます(これは分母・分子に同じ数をかけているだけなので、値は変わりません。ただし $h\to 0$ の極限を考える際、$h$ が $0$ に十分近ければ $\cos h+1\neq 0$ であることを使っています)。

$ \frac{\cos h-1}{h} = \frac{(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)} $

分子の $(\cos h-1)(\cos h+1)$ は、$(A-1)(A+1)=A^2-1$ の公式($A=\cos h$)を使って、

$ (\cos h-1)(\cos h+1) = \cos^2h-1 $

ここで、三角関数の基本公式 $\sin^2h+\cos^2h=1$ より $\cos^2h-1=-\sin^2h$ なので、

$ \frac{\cos h-1}{h} = \frac{-\sin^2h}{h(\cos h+1)} $

右辺を、$\sin h$ を2つに分けて書き直します。

$ \frac{-\sin^2h}{h(\cos h+1)} = -\frac{\sin h}{h}\cdot\frac{\sin h}{\cos h+1} $

したがって、

$ \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h} = \lim_{h\to 0}\left(-\frac{\sin h}{h}\cdot\frac{\sin h}{\cos h+1}\right) = -\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}\right)\cdot\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{\cos h+1}\right) $

このうち、$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1$ は既知の事実です。もう一方の $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{\cos h+1}$ については、$h\to 0$ のとき、分子の $\sin h\to \sin 0=0$、分母の $\cos h+1\to\cos 0+1=2$ となるので、

$ \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{\cos h+1} = \frac{0}{2} = 0 $

以上をまとめると、

$ \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h} = -1\times 0 = 0 $

が得られました。

ステップ5: 結論をまとめる

ステップ4で得た $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0$ と、既知の事実 $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1$ を、ステップ3の式に代入します。

$ f'(x) = \sin x\cdot 0 + \cos x\cdot 1 $

$ f'(x) = \cos x $

したがって、

$ (\sin x)' = \cos x $

が証明されました。

この証明のポイント

$\sin(x+h)-\sin x$ を加法定理で展開したあと、$\cos h-1$ を含む項と $\sin h$ を含む項に分けて、それぞれ独立に $h\to 0$ の極限を調べる、という進め方がこの証明の骨格です。また、$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}$ を求める際に、$\cos h+1$ を分母・分子にかけて $\cos^2h-1=-\sin^2h$ の形に持ち込み、既知の $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1$ に帰着させるテクニックは、他の三角関数を含む極限の計算でも応用できる考え方です。