三角関数の合成の証明

証明する内容

$a$、$b$ を実数の定数とし、少なくとも一方は $0$ でないとします。このとき、すべての $\theta$ について

$ a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta+\alpha) $

が成り立つような角度 $\alpha$ が存在します。ここで $\alpha$ は

$ \cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \qquad \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $

を満たす角度です。

これは、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ を混ぜ合わせた式が、実は「振幅 $\sqrt{a^2+b^2}$ の $\sin$ の波を、角度 $\alpha$ だけ横にずらしたもの」に過ぎない、ということを意味しています。この変形を「三角関数の合成」と呼びます。

証明

ステップ1: 目標の式を右辺から加法定理で展開する

まず、右辺の $\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta+\alpha)$ を、$\sin$ の加法定理

$ \sin(\theta+\alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha $

を使って展開します。すると、

$ \sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta+\alpha) = \sqrt{a^2+b^2}\,(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) $

となります。右辺をさらに展開すると、

$ \sqrt{a^2+b^2}\,\sin\theta\cos\alpha + \sqrt{a^2+b^2}\,\cos\theta\sin\alpha $

となります。

ステップ2: 左辺の $a\sin\theta+b\cos\theta$ と見比べる

この式が、証明したい式の左辺 $a\sin\theta + b\cos\theta$ と一致してほしいわけです。そこで、$\sin\theta$ の係数どうし、$\cos\theta$ の係数どうしを比べます。

$\sin\theta$ の係数を比べると、

$ a = \sqrt{a^2+b^2}\,\cos\alpha $

$\cos\theta$ の係数を比べると、

$ b = \sqrt{a^2+b^2}\,\sin\alpha $

という2つの式が得られます。逆に言えば、この2つの式を満たす $\alpha$ を実際に見つけることができれば、そのときに証明したい等式が成り立つことになります。

ステップ3: そのような $\alpha$ が実際に存在することを確認する

上の2つの式を $\sqrt{a^2+b^2}$ で割ると(仮定より $a$, $b$ の少なくとも一方は $0$ でないので $\sqrt{a^2+b^2} > 0$ であり、割ることができます)、

$ \cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \qquad \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $

となります。ここで、このような $\alpha$ が本当に存在するかどうかを確認する必要があります。存在するための条件は、右辺の2つの値を2乗して足すとちょうど $1$ になることです。実際に計算してみます。

$ \left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 + \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 = \frac{a^2}{a^2+b^2} + \frac{b^2}{a^2+b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2} = 1 $

このように、2乗の和がちょうど $1$ になりました。これは、座標平面上で点 $\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$ が単位円(原点を中心とする半径 $1$ の円)の上にある点であることを意味します。単位円上のどんな点も、ある角度 $\alpha$ を使って $(\cos\alpha, \sin\alpha)$ の形で表せることが単位円による三角関数の定義そのものですから、

$ \cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \qquad \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $

を満たす角度 $\alpha$ が少なくとも1つ存在することが確認できました。

ステップ4: 逆向きにたどって結論を得る

ステップ3で存在が確認できた $\alpha$ を使うと、

$ a = \sqrt{a^2+b^2}\,\cos\alpha, \qquad b = \sqrt{a^2+b^2}\,\sin\alpha $

が成り立ちます。この2つの式を、証明したい式の左辺に代入します。

$ a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\,\cos\alpha\sin\theta + \sqrt{a^2+b^2}\,\sin\alpha\cos\theta $

右辺を $\sqrt{a^2+b^2}$ でくくると、

$ = \sqrt{a^2+b^2}\,(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) $

ここで、括弧の中はちょうど $\sin$ の加法定理の右辺の形になっているので、加法定理を使ってまとめると、

$ = \sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta+\alpha) $

となります。したがって、

$ a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta+\alpha) $

が示されました。

この証明のポイント

「示したい形を先に加法定理で展開してから係数を比較する」という逆算の発想が、合成公式の作り方の本質です。また、$\cos\alpha$, $\sin\alpha$ として指定した値の2乗和がちょうど $1$ になることを確かめる部分は、「そのような角度 $\alpha$ が実際に存在する」ことを保証するために欠かせないステップであり、単位円と三角関数の定義のつながりを再確認する良い練習になります。