二項定理の証明

証明する内容

$n$を正の整数とします。$(a+b)^n$、つまり$(a+b)$を$n$個かけ合わせたものを展開すると、次のようになります。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

ここで、$\binom{n}{k}$(「エヌ シー ケー」と読み、$\mathrm{C}$を使って$_n\mathrm{C}_k$とも書きます)は、$n$個の異なるものの中から$k$個を選ぶ組合せの数を表し、次の式で計算できます。

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

また、$\sum_{k=0}^{n}$ は、$k=0$から$k=n$までのすべての場合について、後ろの式を足し合わせるという意味の記号です。これが二項定理です。この式を実際に書き下すと、

$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + \binom{n}{n}b^n$

となります。直感的には、「$(a+b)^n$を展開したときの、$a^{n-k}b^k$という項の係数は、$n$個の中から$k$個を選ぶ組合せの数$\binom{n}{k}$にちょうど一致する」ということを意味しています。

証明

展開の仕組みを確認する

まず、$(a+b)^n$ とは、$(a+b)$を$n$個かけ合わせたものです。

$(a+b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_{n個}$

この積を展開するとき、分配法則を繰り返し使うことになります。分配法則を使って積を展開するというのは、具体的には次のような操作です。$n$個ある$(a+b)$のかっこに、1番目、2番目、……、$n$番目、と番号をつけます。展開後の1つ1つの項は、「1番目のかっこから$a$か$b$のどちらかを1つ選び、2番目のかっこからも$a$か$b$のどちらかを1つ選び、……、$n$番目のかっこからも$a$か$b$のどちらかを1つ選んで、選んだ$n$個の文字をすべてかけ合わせたもの」として得られます。そして、展開後の式全体は、このような「選び方」のすべてのパターンについて、得られる項をすべて足し合わせたものになります。

この様子を、$n=3$の場合で具体的に確認してみます。

$(a+b)(a+b)(a+b)$

1番目、2番目、3番目のかっこから、それぞれ$a$か$b$かを選ぶので、選び方は全部で$2\times2\times2=8$通りあります。それぞれの選び方に対応する項を、選んだ順に書き出すと、次のようになります。

• (a,a,a) → $a\times a\times a=a^3$
• (a,a,b) → $a\times a\times b=a^2b$
• (a,b,a) → $a\times b\times a=a^2b$
• (b,a,a) → $b\times a\times a=a^2b$
• (a,b,b) → $a\times b\times b=ab^2$
• (b,a,b) → $b\times a\times b=ab^2$
• (b,b,a) → $b\times b\times a=ab^2$
• (b,b,b) → $b\times b\times b=b^3$

これら8個の項をすべて足し合わせると、$a^3$が1個、$a^2b$が3個、$ab^2$が3個、$b^3$が1個現れているので、

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

となります。このように、同じ形の項(例えば$a^2b$の形の項)が何個現れるかを正しく数えることが、展開後の係数を求めることに対応しています。

一般の$n$について、項の個数を数える

一般の$n$についても、同じ考え方をします。$n$個のかっこそれぞれから$a$か$b$を選ぶので、選び方は全部で$2^n$通りあります。それぞれの選び方について、選んだ$n$個の文字をすべてかけ合わせると、$a$と$b$のかけ算なので、かける順番を並べ替えても答えは変わりません(かけ算の順序を変えても積は変わらないという、かけ算の交換法則によります)。したがって、ある選び方で、$n$個のかっこのうち$k$個から$b$を選び、残りの$n-k$個から$a$を選んだとすると、その選び方に対応する項は、必ず

$a^{n-k}b^k$

という形になります($a$を$n-k$回、$b$を$k$回かけ合わせた形です)。

そこで、$a^{n-k}b^k$という項が、展開後の式の中に全部で何個現れるかを数えます。これは、「$n$個あるかっこのうち、どの$k$個から$b$を選ぶか」という選び方の個数に等しくなります。なぜなら、$b$を選ぶかっこの場所(どの$k$個か)が決まれば、残りのかっこからは自動的に$a$を選ぶことになり、$a^{n-k}b^k$という項が1つ確定するからです。逆に、$a^{n-k}b^k$という項を与える選び方は、必ず「どの$k$個のかっこから$b$を選んだか」という情報だけで決まります。

「$n$個の中から、$b$を選ぶ$k$個のかっこを選ぶ」という選び方の個数は、$n$個の中から順序を考えずに$k$個を選ぶ組合せの数、つまり$\binom{n}{k}$そのものです。

したがって、$a^{n-k}b^k$という項は、展開後の式の中にちょうど$\binom{n}{k}$個現れることが分かりました。これは、$(a+b)^n$を展開して同類項をまとめたとき、$a^{n-k}b^k$の係数がちょうど$\binom{n}{k}$になることを意味しています。

結論をまとめる

$k$は$0$から$n$までのすべての整数の値をとることができ(かっこが$n$個あるうち、$b$を選ぶ個数は$0$個から$n$個までのどれかであるため)、それぞれの$k$について、$a^{n-k}b^k$の係数が$\binom{n}{k}$であることが分かりました。展開後の式は、これらすべての項(同類項をまとめた後の項)を$k=0$から$k=n$まで足し合わせたものなので、

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

が成り立ちます。これで二項定理が証明できました。

検算

$n=3$の場合で確認します。$\binom{3}{0}=1$、$\binom{3}{1}=3$、$\binom{3}{2}=3$、$\binom{3}{3}=1$です(実際、$\binom{3}{1}=\dfrac{3!}{1!\times2!}=\dfrac{6}{1\times2}=3$、$\binom{3}{2}=\dfrac{3!}{2!\times1!}=\dfrac{6}{2\times1}=3$と計算できます)。したがって公式に当てはめると、

$(a+b)^3 = \binom{3}{0}a^3+\binom{3}{1}a^2b+\binom{3}{2}ab^2+\binom{3}{3}b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

これは、先ほど8通りの選び方を書き出して直接確かめた結果と完全に一致しています。

この証明のポイント

「展開後の式の係数」を求める問題は、「同じ形の項が何通りの方法で作られるか」という場合の数を数える問題に置き換えられます。この証明のように、代数的な計算(式の展開)を、組合せ的な数え上げ(場合の数)に翻訳して考える視点は、二項定理以外にも、確率や場合の数の分野全体で非常によく使われる重要な考え方です。