2倍角の公式の証明

証明する内容

任意の角$\alpha$について、次の等式(2倍角の公式)が成り立ちます。

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1 = 1-2\sin^2\alpha$

直感的には、「角を2倍にしたときのサイン・コサインの値が、もとの角のサイン・コサインだけを使って計算できる」ということを意味しています。$\cos2\alpha$については、3通りの同値な表し方があり、状況に応じて使い分けます。

この証明では、次の加法定理(2つの角の和のサイン・コサインに関する公式)がすでに証明されているものとして、そこから出発します。

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

証明

ステップ1:加法定理で$\beta=\alpha$とおく

加法定理は、$\alpha$と$\beta$がどんな角であっても成り立つ等式です。したがって、$\beta$のところに、$\alpha$と同じ角である$\alpha$自身を代入しても、等式は成り立ち続けます。

まず、サインの加法定理

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

において、$\beta=\alpha$を代入します。左辺は、

$\sin(\alpha+\alpha) = \sin2\alpha$

となります($\alpha+\alpha=2\alpha$だからです)。右辺は、$\beta$をすべて$\alpha$に置き換えて、

$\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha$

となります。この2つの項 $\sin\alpha\cos\alpha$ と $\cos\alpha\sin\alpha$ は、かけ算の順序が違うだけで同じ値なので、足し合わせると、

$\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

したがって、

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

が得られました。これで1つ目の公式が証明できました。

ステップ2:コサインの加法定理で$\beta=\alpha$とおく

同じように、コサインの加法定理

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

において、$\beta=\alpha$を代入します。左辺は、

$\cos(\alpha+\alpha) = \cos2\alpha$

となります。右辺は、$\beta$をすべて$\alpha$に置き換えて、

$\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha$

となります。$\cos\alpha\cos\alpha=\cos^2\alpha$、$\sin\alpha\sin\alpha=\sin^2\alpha$ なので、

$\cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha$

が得られました。これで、$\cos2\alpha$の1つ目の表し方が証明できました。

ステップ3:$\cos2\alpha$を$\cos\alpha$だけで表す

三角比の基本的な関係式 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ を、$\sin^2\alpha$について解くと、

$\sin^2\alpha = 1-\cos^2\alpha$

これを、ステップ2で得た $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ の$\sin^2\alpha$のところに代入します。

$\cos2\alpha = \cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)$

右辺のかっこを外すとき、マイナスの符号がかっこの中の両方の項にかかることに注意します。

$\cos2\alpha = \cos^2\alpha-1+\cos^2\alpha$

同類項($\cos^2\alpha$の項)をまとめると、

$\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha-1$

が得られました。これで、$\cos2\alpha$の2つ目の表し方が証明できました。

ステップ4:$\cos2\alpha$を$\sin\alpha$だけで表す

今度は、$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ を、$\cos^2\alpha$について解きます。

$\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha$

これを、ステップ2で得た $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ の$\cos^2\alpha$のところに代入します。

$\cos2\alpha = (1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha$

右辺を整理すると、

$\cos2\alpha = 1-\sin^2\alpha-\sin^2\alpha = 1-2\sin^2\alpha$

が得られました。これで、$\cos2\alpha$の3つ目の表し方も証明できました。

以上をまとめると、

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1 = 1-2\sin^2\alpha$

がすべて証明されました。

検算

$\alpha=30°$の場合で確かめます。$\sin30°=\dfrac{1}{2}$、$\cos30°=\dfrac{\sqrt3}{2}$です。また、$2\alpha=60°$なので、$\sin60°=\dfrac{\sqrt3}{2}$、$\cos60°=\dfrac{1}{2}$です。

$\sin2\alpha$の公式:

$2\sin\alpha\cos\alpha = 2\times\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3}{2}$

これは$\sin60°=\dfrac{\sqrt3}{2}$と一致します。

$\cos2\alpha$の3通りの公式:

$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha = \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

$2\cos^2\alpha-1 = 2\times\frac{3}{4}-1 = \frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$

$1-2\sin^2\alpha = 1-2\times\frac{1}{4} = 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

3通りの計算結果はすべて$\dfrac{1}{2}$となり、$\cos60°=\dfrac{1}{2}$と一致しています。証明した公式が正しいことが確認できました。

この証明のポイント

すでに証明されている一般的な公式(加法定理)に、特別な値(ここでは$\beta=\alpha$)を代入することで、より具体的で使いやすい新しい公式(2倍角の公式)を作り出すという方法は、数学の公式どうしのつながりを理解し、新しい公式を自分で導き出す力を身につけるうえで、非常に応用範囲の広い考え方です。また、$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$という関係式を使って、サインとコサインが混ざった式を、片方だけの式に書き換えるテクニックも、三角関数を扱う多くの場面で役立ちます。