メネラウスの定理の証明

証明する内容

三角形ABCがあり、どの頂点も通らない1本の直線が、直線BC、直線CA、直線ABと、それぞれ点P、Q、Rで交わっているとします(Pは辺BCそのもの、または辺BCの延長線上、Qは辺CAまたはその延長線上、Rは辺ABまたはその延長線上にある点です)。

このとき、次の等式が成り立ちます。

$\frac{BP}{PC}\times\frac{CQ}{QA}\times\frac{AR}{RB} = 1$

これがメネラウスの定理です。ここで出てくる比はすべて線分の長さの比(正の数)として考えます。直感的には、「三角形の3辺(またはその延長)を1直線が横切るとき、その直線が作り出す6つの線分の比を、頂点をたどる順番でかけ合わせると必ず1になる」ということを意味しています。

以下では、具体的な配置として、直線が辺BCとは内部の点Pで交わり、辺ABとは内部の点Rで交わり、辺CAの延長(頂点Cを越えて延ばした部分)とは点Qで交わっている場合について証明します。他の配置(直線が3辺すべての延長と交わる場合など)についても、これから説明するのと全く同じ考え方で証明できます。

証明

準備:補助線を引く

頂点Aを通り、辺BCに平行な直線を引きます。この直線が、点P、Q、Rを通っている直線(以下「もとの直線」と呼びます)と交わる点をTとします。点Tは、もとの直線の上にあり、点P、Q、Rと同じ直線上に並んでいます。

ステップ1:三角形ARTと三角形BRPが相似であることを示す

点Rは、直線AB上にあり、かつ、もとの直線(点T、R、P、Qが並ぶ直線)上にもあります。つまり、点Rは、直線ABと、もとの直線という、2本の直線が交わる点になっています。

三角形ARTと三角形BRPについて、次の2組の角がそれぞれ等しいことを確認します。

角の組1:$\angle ART = \angle BRP$

これは、直線ABと、もとの直線が点Rで交わることによってできる対頂角(向かい合う角)です。直線が2本交わるとき、向かい合う位置にできる角は等しくなるので、$\angle ART = \angle BRP$ が成り立ちます。

角の組2:$\angle TAR = \angle PBR$

補助線ATは辺BCに平行に引いたので、$AT \parallel BC$ です。点Pは辺BC上にあるので、直線BPは直線BCの一部であり、したがって $AT \parallel BP$ です。この2本の平行な直線AT、BPを、直線AB(点A、R、Bを通る直線)が横切っています。平行線の性質(平行な2直線を1本の直線が横切るとき、対応する位置にできる角は等しい)より、

$\angle TAR = \angle PBR$

が成り立ちます。

以上の2組の角がそれぞれ等しいことから、三角形ARTと三角形BRPは、2組の角がそれぞれ等しいので相似です(相似条件のうち「2角がそれぞれ等しい」場合にあたります)。対応する頂点は、A↔B、R↔R、T↔Pです。相似な三角形では対応する辺の長さの比がすべて等しいので、

$\frac{AR}{BR} = \frac{AT}{BP}$

が成り立ちます。この式を、後で使いやすいように$AT$について解いておきます。両辺に$BP$をかけると、

$AT = BP\times\frac{AR}{BR} = BP\times\frac{AR}{RB} \tag{i}$

($BR$と$RB$は同じ長さを表しているので、書き換えました。)

ステップ2:三角形AQTと三角形CQPが相似であることを示す

点Qは、直線CA上にあり、かつ、もとの直線上にもあります。つまり、点Qは、直線CAと、もとの直線という、2本の直線が交わる点になっています。今の配置では、点Qは辺CAを越えて延長した先、点Cのさらに外側にあります。

三角形AQTと三角形CQPについて、次の2組の角がそれぞれ等しいことを確認します。

角の組1:$\angle AQT = \angle CQP$

点Qは頂点Cよりも外側(点Aから見て点Cを越えた先)にあるので、点Qから点Aを見る向きと点Qから点Cを見る向きは、同じ1本の直線(直線CA)上で同じ向きになります。同様に、もとの直線上で、点T、P、Rは点Qから見て(この配置では)すべて同じ側に並んでいるので、点Qから点Tを見る向きと点Qから点Pを見る向きも同じ向きになります。したがって、$\angle AQT$ と $\angle CQP$ は、同じ2つの向きによって作られる同じ角であり、

$\angle AQT = \angle CQP$

が成り立ちます。

角の組2:$\angle QAT = \angle QCP$

先ほどと同じく $AT\parallel BC$ であり、点Pは辺BC上にあるので、直線CPは直線BCの一部であり、$AT\parallel CP$ です。この2本の平行な直線AT、CPを、直線CA(点C、Q、Aを通る直線)が横切っています。平行線の性質より、対応する位置にできる角は等しいので、

$\angle QAT = \angle QCP$

が成り立ちます。

以上の2組の角がそれぞれ等しいことから、三角形AQTと三角形CQPは相似です。対応する頂点は、A↔C、Q↔Q、T↔Pです。したがって、

$\frac{AQ}{CQ} = \frac{AT}{CP}$

が成り立ちます。この式を$AT$について解くと、

$AT = CP\times\frac{AQ}{CQ} = CP\times\frac{AQ}{QC} \tag{ii}$

ステップ3:2つの式を組み合わせる

(i)と(ii)は、どちらも$AT$を表す式なので、右辺どうしが等しくなります。

$BP\times\frac{AR}{RB} = CP\times\frac{AQ}{QC}$

両辺を$CP$で割ります。

$\frac{BP}{CP}\times\frac{AR}{RB} = \frac{AQ}{QC}$

次に、両辺に $\dfrac{QC}{AQ}$ をかけます(これは、両辺を$\dfrac{AQ}{QC}$で割ることと同じです)。

$\frac{BP}{CP}\times\frac{AR}{RB}\times\frac{QC}{AQ} = \frac{AQ}{QC}\times\frac{QC}{AQ}$

右辺は、同じ数を分子と分母にそれぞれ持つ分数どうしの積なので、約分されて$1$になります。

$\frac{BP}{CP}\times\frac{AR}{RB}\times\frac{QC}{AQ} = 1$

ここで、$CP$は$PC$と同じ長さ、$QC$は$CQ$と同じ長さ、$AQ$は$QA$と同じ長さを表しているので、これらを書き換え、かけ算の順序を並べ替えると、

$\frac{BP}{PC}\times\frac{CQ}{QA}\times\frac{AR}{RB} = 1$

が得られます。これが証明したかった等式です。

この証明のポイント

証明したい線分の比の中に直接登場しない補助的な線分($AT$)をいったん作り出し、2組の相似な三角形を経由してその補助的な線分を消去する(2つの式から$AT$を消す)ことで、目的の等式にたどり着くという進め方は、図形の証明で比を扱うときの代表的なテクニックです。また、平行線を引くことで「同位角が等しい」「対頂角が等しい」という2種類の角の性質を使い分けて相似な三角形を作り出す発想は、チェバの定理をはじめ、他の多くの図形の証明でも応用できます。