区分求積法と定積分の関係の証明

証明する内容

関数 $f(x)$ が区間 $[a,b]$ で連続であり、この区間で $f(x)\geq 0$ であるとします。区間 $[a,b]$ を $n$ 個の等しい幅の小区間に分割し、それぞれの小区間の上に立てた細い長方形の面積を全部足し合わせた「長方形近似の和」を考えます。このとき、分割の数 $n$ を限りなく大きくしていくと、この和は、$y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸、および直線 $x=a$, $x=b$ で囲まれた部分の面積、すなわち定積分 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ に限りなく近づきます。式で書くと、

$ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\cdot\frac{b-a}{n} = \int_a^b f(x)\,dx $

が成り立ちます(ここで $x_k$ は、$k$ 番目の小区間の中にとった代表点です。詳しくは証明の中で定義します)。これを区分求積法と呼びます。特によく使われる形として、$a=0$, $b=1$ の場合、

$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx $

という形もあります。

この事実は、「面積を、細長い長方形をたくさん並べたものでどんどん精密に近似していくと、最終的に本当の面積(定積分の値)に一致する」ということを主張しています。

証明

ステップ1: 区間を分割する

区間 $[a,b]$ を、$n$ 個の等しい幅の小区間に分割します。1つの小区間の幅は、

$ \Delta x = \frac{b-a}{n} $

です。分割点は、$a$ から順に $\Delta x$ ずつ増やしていった点であり、

$ x_0=a,\quad x_1=a+\Delta x,\quad x_2=a+2\Delta x,\ \ldots,\ x_n=a+n\Delta x=b $

となります。$k$ 番目の小区間とは、$x_{k-1}$ から $x_k$ までの区間 $[x_{k-1},x_k]$ のことです($k=1,2,\ldots,n$)。それぞれの小区間から、代表点として $x_k$(小区間の右端の点)をとることにします。

ステップ2: 長方形近似の和を作る

$k$ 番目の小区間 $[x_{k-1},x_k]$ の上に、高さが $f(x_k)$、幅が $\Delta x$ である細長い長方形を立てます。この長方形の面積は $f(x_k)\cdot\Delta x$ です。$f(x)\geq 0$ を仮定しているので、この面積は $0$ 以上の値になり、実際にグラフの下側の面積の近似として意味を持ちます。

すべての小区間について、この長方形の面積を足し合わせたものを $S_n$ とします。

$ S_n = \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\cdot\Delta x = f(x_1)\Delta x+f(x_2)\Delta x+\cdots+f(x_n)\Delta x $

この $S_n$ が、$y=f(x)$ のグラフの下側の面積を、$n$ 個の長方形で近似したものです。

ステップ3: 近似の誤差を考える

$S_n$ は、あくまで長方形による近似なので、実際の面積(定積分の値)とはズレがあります。このズレがどのように小さくなっていくかを考えます。

$k$ 番目の小区間 $[x_{k-1},x_k]$ において、$f(x)$ がとる値の中で一番小さい値を $m_k$、一番大きい値を $M_k$ とします($f(x)$ は連続関数なので、閉じた区間の上では必ず最小値・最大値が存在します)。この小区間の中では、$f(x)$ の値は常に $m_k$ 以上 $M_k$ 以下なので、代表点 $x_k$ での値についても

$ m_k \leq f(x_k) \leq M_k $

が成り立ちます。

また、この小区間における「本当の面積」(グラフと $x$ 軸で挟まれた、その小区間の上の部分の面積)は、幅 $\Delta x$ の長方形で、高さが $m_k$ のもの(下から評価した長方形)と、高さが $M_k$ のもの(上から評価した長方形)の面積の間にあるはずです。つまり、その小区間上の本当の面積を $A_k$ とすると、

$ m_k\Delta x \leq A_k \leq M_k\Delta x $

が成り立ちます。同時に、長方形近似で使った面積 $f(x_k)\Delta x$ も、同じ理由で $m_k\Delta x$ 以上 $M_k\Delta x$ 以下です。したがって、$A_k$ と $f(x_k)\Delta x$ は、どちらも同じ範囲 $[m_k\Delta x,\ M_k\Delta x]$ の中に入っているので、両者の差は、その範囲の幅を超えることはありません。

$ \left|A_k - f(x_k)\Delta x\right| \leq M_k\Delta x - m_k\Delta x = (M_k-m_k)\Delta x $

すべての小区間についてこの誤差を足し合わせると、本当の面積の合計(つまり定積分 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$)と、長方形近似の和 $S_n$ との差は、

$ \left|\int_a^b f(x)\,dx - S_n\right| \leq \sum_{k=1}^{n} (M_k-m_k)\Delta x $

を満たします。

ステップ4: 誤差が $0$ に近づくことを説明する

ここで大切なのは、$n$ を大きくして $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ を小さくしていくと、それぞれの小区間の幅が狭くなっていく、ということです。$f(x)$ は連続な関数なので、$x$ の範囲が狭くなればなるほど、その範囲の中で $f(x)$ がとりうる値の幅、つまり $M_k-m_k$(その小区間での $f(x)$ の最大値と最小値の差)も、全体として小さくなっていきます。直感的に言えば、グラフが「なめらかにつながっている」ので、狭い区間の中では $f(x)$ の値もほとんど変化しない、ということです。

したがって、$n\to\infty$ のとき $\Delta x\to 0$ となり、各小区間での $M_k-m_k$ も全体として $0$ に近づいていくため、右辺の和

$ \sum_{k=1}^{n} (M_k-m_k)\Delta x $

全体も $0$ に近づいていきます(それぞれの小区間の「高さの誤差」も「幅」もどちらも小さくなっていくので、その積の総和が全体として小さくなっていく、というイメージです)。

ステップ5: 結論

ステップ3の不等式

$ 0 \leq \left|\int_a^b f(x)\,dx - S_n\right| \leq \sum_{k=1}^{n} (M_k-m_k)\Delta x $

において、ステップ4で確認したように、$n\to\infty$ のとき右辺が $0$ に近づきます。左辺の $0$ はもちろん $n$ によらずずっと $0$ です。したがって、はさみうちの原理により、真ん中の

$ \left|\int_a^b f(x)\,dx - S_n\right| $

も $n\to\infty$ のとき $0$ に近づきます。これはつまり、$S_n$ が $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ に限りなく近づく、ということを意味します。したがって、

$ \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x = \int_a^b f(x)\,dx $

が示されました。$\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ を代入すれば、

$ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\cdot\frac{b-a}{n} = \int_a^b f(x)\,dx $

という、最初に述べた形の等式が得られます。特に $a=0$, $b=1$ の場合、$x_k=0+k\cdot\dfrac{1-0}{n}=\dfrac{k}{n}$ となるので、これを代入すると、

$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx $

という、よく使われる形の等式も得られます。

この証明のポイント

長方形近似の和 $S_n$ と、本当の面積(定積分)との誤差を、「それぞれの小区間での高さの誤差 $(M_k-m_k)$ と幅 $\Delta x$ の積」の合計として上から評価し、分割を細かくするとその誤差の上限そのものが $0$ に近づくことを示す、という進め方がこの証明の骨組みです。「知りたい量」を直接求める代わりに、それを上下から挟む(あるいは誤差を上から評価する)量を使って、はさみうちの原理に持ち込むという発想は、極限が関わる証明で繰り返し登場する重要な手法です。