公式の証明・導出
数学的帰納法による証明の具体例
関連単元: 数学B 数列
証明する内容
すべての正の整数 $n$ について、
$ 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} $
が成り立つことを、数学的帰納法という証明方法を使って示します。
数学的帰納法とは、「すべての正の整数 $n$ について、ある命題 $P(n)$ が成り立つ」ことを示すために、次の2つのことを確認する証明方法です。
- (1) $n=1$ のとき、命題 $P(1)$ が成り立つことを確認する。
- (2) ある正の整数 $k$ について命題 $P(k)$ が成り立つと仮定したとき、次の $n=k+1$ でも命題 $P(k+1)$ が成り立つことを示す。
この2つが確認できれば、$P(1)$ が成り立つ→(2)より $P(2)$ が成り立つ→(2)より $P(3)$ が成り立つ→…というように、ドミノ倒しのようにすべての正の整数について命題が成り立つことがわかる、という仕組みです。
証明
今回証明したい命題は、
$ P(n): \quad 1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2} $
です。これを数学的帰納法で示します。
ステップ1: $n=1$ のときに成り立つことを確認する
$n=1$ のとき、左辺は「$1$ から $1$ までの和」なので、単に
$ (\text{左辺}) = 1 $
です。一方、右辺に $n=1$ を代入すると、
$ (\text{右辺}) = \frac{1\cdot(1+1)}{2} = \frac{1\cdot 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 $
となります。左辺と右辺がどちらも $1$ で一致するので、$P(1)$ は成り立ちます。
ステップ2: $n=k$ で成り立つと仮定する
次に、ある正の整数 $k$ について、命題 $P(k)$ が成り立っている、つまり
$ 1+2+3+\cdots+k = \frac{k(k+1)}{2} \quad \cdots (\ast) $
が成り立っていると仮定します。これを「帰納法の仮定」と呼びます。この仮定のもとで、次の $n=k+1$ のときの命題
$ P(k+1): \quad 1+2+3+\cdots+k+(k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2} $
が成り立つことを示すのが目標です。右辺の $\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ は、もとの公式 $\dfrac{n(n+1)}{2}$ に $n=k+1$ を代入して得られる式であることを確認しておいてください。
ステップ3: $P(k)$ から $P(k+1)$ を導く
$P(k+1)$ の左辺、つまり $1+2+3+\cdots+k+(k+1)$ を考えます。この式は、$1$ から $k$ までの和に、最後の項 $(k+1)$ を1つ加えたものです。つまり、
$ 1+2+3+\cdots+k+(k+1) = \left(1+2+3+\cdots+k\right) + (k+1) $
と書けます。ここで、右辺の括弧の中身は、ステップ2で仮定した $(\ast)$ の左辺そのものです。$(\ast)$ より、この括弧の中身は $\dfrac{k(k+1)}{2}$ に置き換えることができます。したがって、
$ 1+2+3+\cdots+k+(k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) $
となります。この右辺を計算していきます。まず、2つの項を通分するために、$(k+1)$ を $\dfrac{2(k+1)}{2}$ と書き直します。
$ \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + \frac{2(k+1)}{2} = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} $
分子に注目すると、$k(k+1)$ と $2(k+1)$ のどちらにも共通因数 $(k+1)$ があるので、これでくくります。
$ k(k+1) + 2(k+1) = (k+1)(k+2) $
これを代入すると、
$ \frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2} $
となります。以上をまとめると、
$ 1+2+3+\cdots+k+(k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2} $
が示されました。これはまさに $P(k+1)$ の主張そのものです。したがって、「$P(k)$ が成り立つならば $P(k+1)$ も成り立つ」ことが示されました。
ステップ4: 結論
ステップ1で $P(1)$ が成り立つことを確認し、ステップ2・ステップ3で「$P(k)$ が成り立つならば $P(k+1)$ も成り立つ」ことを示しました。数学的帰納法の原理により、これですべての正の整数 $n$ について $P(n)$ が成り立つ、つまり
$ 1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2} $
がすべての正の整数 $n$ について成り立つことが証明されました。
この証明のポイント
数学的帰納法を使うときは、「$n=1$(または最初の場合)の確認」と「$n=k$ から $n=k+1$ を導く部分」を必ずどちらも書くことが重要です。特に $n=k$ から $n=k+1$ を導く部分では、$P(k+1)$ の左辺を「$P(k)$ の左辺 + 新しく増えた項」の形に分解し、そこに帰納法の仮定 $(\ast)$ を代入する、という流れがほぼすべての帰納法の証明で共通するパターンです。この形を覚えておくと、他の命題を帰納法で証明する際にも同じ手順が使えます。