回転体の体積公式の導出

証明する内容

関数 $f(x)$ が区間 $[a,b]$ で連続であるとします。曲線 $y=f(x)$ と、$x$ 軸、直線 $x=a$, $x=b$ で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体を考えます。この立体を回転体と呼びます。このとき、回転体の体積 $V$ は、

$ V = \pi\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx $

という定積分で計算できます。

証明

ステップ1: 回転体を薄い円盤に分けて考える

区間 $[a,b]$ を、区分求積法のときと同じように、$n$ 個の等しい幅の小区間に分割します。1つの小区間の幅を

$ \Delta x = \frac{b-a}{n} $

とし、分割点を $a=x_0

回転体を、これらの分割点で $x$ 軸に垂直な平面によって $n$ 個の薄い部分に輪切りにします。$k$ 番目の薄い部分は、$x_{k-1}$ から $x_k$ までの、幅 $\Delta x$ の薄い立体です。

この薄い部分の幅 $\Delta x$ が十分小さいとき、この部分の形は、半径 $f(x_k)$、厚さ $\Delta x$ の、ほぼ円柱(コインのような薄い円盤)とみなすことができます。なぜなら、$f(x)$ は連続な関数なので、$x_{k-1}$ から $x_k$ までの狭い範囲では、$f(x)$ の値はほとんど変化せず、ほぼ $f(x_k)$ に等しいとみなせるからです。したがって、この薄い円盤を輪切りにした切り口は、半径がほぼ $f(x_k)$ の円になっています。

ステップ2: 1つの薄い円盤の体積を求める

半径 $r$、高さ(厚さ)$h$ の円柱の体積は、底面積(円の面積 $\pi r^2$)に高さをかけたもの、すなわち $\pi r^2 h$ です。ステップ1で考えた $k$ 番目の薄い円盤は、半径がほぼ $f(x_k)$、厚さが $\Delta x$ なので、その体積 $\Delta V_k$ は、近似的に

$ \Delta V_k \approx \pi\{f(x_k)\}^2 \cdot \Delta x $

と表せます。

ステップ3: すべての円盤の体積を足し合わせる

回転体全体の体積 $V$ は、この $n$ 個の薄い円盤の体積をすべて足し合わせたものに近似的に等しくなります。

$ V \approx \sum_{k=1}^{n} \pi\{f(x_k)\}^2\Delta x = \pi\sum_{k=1}^{n} \{f(x_k)\}^2\Delta x $

この近似は、分割の数 $n$ が少ないうちは誤差が大きいですが、$n$ を大きくして $\Delta x$ を小さくしていくほど、それぞれの薄い部分は実際の円柱にどんどん近づいていくので、誤差はどんどん小さくなっていきます。これは、区分求積法のページで説明したのと全く同じ理由(連続な関数の値は、狭い範囲の中ではほとんど変化しないという性質)によります。

ステップ4: $n\to\infty$ の極限をとる

そこで、$n\to\infty$ の極限を考えます。ステップ3の近似の誤差は $n\to\infty$ のとき $0$ に近づいていくので、この極限において、近似の和は回転体の本当の体積 $V$ に一致します。

$ V = \lim_{n\to\infty} \pi\sum_{k=1}^{n} \{f(x_k)\}^2\Delta x $

ここで、右辺の和の部分

$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} \{f(x_k)\}^2\Delta x $

に注目します。これは、関数 $g(x) = \{f(x)\}^2$ に対して、区分求積法の公式

$ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} g(x_k)\cdot\frac{b-a}{n} = \int_a^b g(x)\,dx $

をそのまま当てはめたものになっています($\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ であったことを思い出してください)。$g(x)=\{f(x)\}^2$ は、$f(x)$ が連続関数であることから同じく連続な関数なので、この公式がそのまま使えます。したがって、

$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} \{f(x_k)\}^2\Delta x = \int_a^b \{f(x)\}^2\,dx $

となります。

ステップ5: 結論

ステップ4の結果を代入すると、

$ V = \pi\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx $

が得られます。これで、回転体の体積の公式が証明されました。

この証明のポイント

回転体を、断面が円である薄い円盤にたくさん輪切りにして、それぞれの円盤の体積 $\pi\{f(x_k)\}^2\Delta x$ を足し合わせ、分割を限りなく細かくする、という考え方は、区分求積法によって面積を長方形の和の極限として捉える考え方と全く同じ構造をしています。実際、この証明では、円盤の断面積 $\pi\{f(x)\}^2$ を「高さ」とみなすことで、体積の問題を区分求積法の公式にそのまま帰着させています。この「対象を薄いパーツに分割し、それぞれを単純な図形で近似してから、分割を細かくする極限を考える」という発想は、曲線の長さや、断面が変化する立体の体積など、他のさまざまな量を積分で表す場面でも共通して使われる考え方です。