2次方程式の解の公式の導出

証明する内容

$a$、$b$、$c$を定数とし、$a\neq 0$ とします。このとき、2次方程式

$ax^2+bx+c=0$

の実数解(実数の範囲での解)は、$b^2-4ac \geq 0$ のとき、

$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

という式で表されることを証明します。ここで記号$\pm$は、「$+$の場合と$-$の場合の両方を考える」という意味で、この1つの式が2つの解

$x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \quad \text{と} \quad x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

をまとめて表しています。この公式を使うと、どんな2次方程式であっても、係数$a,b,c$を代入するだけで解が求められます。

証明

$ax^2+bx+c=0$ という方程式を、「平方完成」という方法で変形していきます。平方完成とは、$x$を含む式を $(x+\text{何か})^2$ という2乗の形に無理やり作り変える計算方法です。

ステップ1:両辺を$a$で割る

$a\neq 0$ なので、両辺を$a$で割ることができます。

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

ステップ2:定数項を右辺に移項する

$\dfrac{c}{a}$ を右辺に移項します(左辺から引いていたものを、符号を変えて右辺に移すのと同じことです)。

$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$

ステップ3:平方完成のために、両辺に同じ数を足す

左辺の $x^2+\dfrac{b}{a}x$ を $(x+\text{何か})^2$ の形にすることを考えます。一般に、

$\left(x+p\right)^2 = x^2+2px+p^2$

という展開公式が成り立つので、$x^2+\dfrac{b}{a}x$ を $x^2+2px$ の形と見比べると、$2p=\dfrac{b}{a}$ となるように$p$を選べばよいことが分かります。これを解くと、

$p = \frac{b}{2a}$

です。つまり、左辺に $p^2=\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ を足せば、$(x+p)^2$ の形が作れます。ただし、方程式の左辺だけに数を足すと等式が崩れてしまうので、両辺に同じ数 $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ を足します。

$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2$

ステップ4:左辺を2乗の形にまとめる

先ほど確認した展開公式 $\left(x+p\right)^2=x^2+2px+p^2$ を、$p=\dfrac{b}{2a}$ の場合に当てはめると、左辺はちょうど

$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$

と書き直せます。実際、$2p=2\times\dfrac{b}{2a}=\dfrac{b}{a}$ となっていて、確かに真ん中の項が一致することが確認できます。したがって、方程式は

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2$

となります。

ステップ5:右辺を1つの分数にまとめる

右辺を計算します。$\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2}{4a^2}$ なので、右辺は

$-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$

です。この2つの分数を通分します。$-\dfrac{c}{a}$ の分母を$4a^2$にそろえるために、分母と分子に$4a$をかけます。

$-\frac{c}{a} = -\frac{c\times 4a}{a\times 4a} = -\frac{4ac}{4a^2}$

したがって、右辺は

$-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$

となります。よって、方程式は次の形になりました。

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$

ステップ6:両辺の平方根をとる

ここで、右辺の分母$4a^2$は、$a\neq 0$ より必ず正の数です。したがって、右辺全体が$0$以上になるのは、分子の $b^2-4ac$ が$0$以上のとき、つまり

$b^2-4ac \geq 0$

のときに限られます。この条件が満たされているとして、両辺の平方根を考えます。

一般に、ある数の2乗が$k$($k\geq0$)に等しいとき、その数自身は$\sqrt{k}$または$-\sqrt{k}$のどちらかです(2乗すると同じ数になる数は、正と負の2つしかないためです)。これを$\pm\sqrt{k}$とまとめて書きます。今の場合、$x+\dfrac{b}{2a}$ を2乗すると $\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$ になるので、

$x+\frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

が成り立ちます。

ステップ7:右辺の根号を整理する

分数の平方根は、分子の平方根を分母の平方根で割ったものに等しいので、

$\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}$

です。ここで、$\sqrt{4a^2}$ を計算します。一般に、$\sqrt{x^2}=|x|$(絶対値)が成り立つので、$\sqrt{4a^2}=\sqrt{(2a)^2}=|2a|=2|a|$ となります。したがって、

$x+\frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|}$

ステップ8:絶対値を外す

ここで、$\pm$がついていることに注目します。$a>0$のときは$|a|=a$なので、そのまま

$\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

です。一方、$a<0$のときは$|a|=-a$なので、

$\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{-2a} = \mp\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

となります(符号が反転するので$\pm$が$\mp$に変わります)。しかし、$\pm$も$\mp$も「$+$の場合と$-$の場合の両方を考える」という意味であり、表している2つの値の組は同じです。例えば $a=-1$、$b^2-4ac=16$ の場合で確認すると、$\pm\dfrac{4}{2|-1|}=\pm\dfrac{4}{2}=\pm 2$、つまり2つの値は$2$と$-2$です。一方、$\mp\dfrac{4}{2\times(-1)}=\mp(-2)=\pm2$となり、同じく2つの値は$2$と$-2$です。このように、$a$の符号に関係なく、$\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|}$ が表す2つの値の組は、$\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ が表す2つの値の組と常に一致します。したがって、絶対値を外して

$x+\frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

と書いてよいことになります。

ステップ9:$x$について解く

最後に、左辺の $\dfrac{b}{2a}$ を右辺に移項します。

$x = -\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

右辺は分母がどちらも$2a$で共通なので、1つの分数にまとめられます。

$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

これで、解の公式

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

が導出できました。

検算

具体例で確かめます。$2x^2+3x-2=0$ を考えると、$a=2$、$b=3$、$c=-2$ です。公式に代入すると、

$b^2-4ac = 3^2-4\times2\times(-2) = 9+16=25$

$x = \frac{-3\pm\sqrt{25}}{2\times2} = \frac{-3\pm5}{4}$

よって、$x=\dfrac{-3+5}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ または $x=\dfrac{-3-5}{4}=\dfrac{-8}{4}=-2$ です。これを元の方程式に代入して確かめると、$x=\dfrac{1}{2}$ のとき $2\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+3\times\dfrac{1}{2}-2 = \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}-2=2-2=0$ となり成立します。$x=-2$ のとき $2\times(-2)^2+3\times(-2)-2=8-6-2=0$ となり、こちらも成立します。公式が正しく機能していることが確認できました。

この証明のポイント

「平方完成」は、$x^2+bx$ のような式に、$x$の係数を半分にして2乗した数($\left(\frac{b}{2}\right)^2$)を過不足なく足すことで、$(x+\text{何か})^2$ の形を作り出すテクニックです。これは2次方程式の解の公式の導出だけでなく、2次関数のグラフの頂点を求めたり、2次式の最大値・最小値を求めたりする場面でも広く使われる、非常に重要な計算手法です。