解と係数の関係の証明

証明する内容

2次方程式の場合:$a\neq0$ とし、2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とします。このとき、

$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}$

が成り立ちます。

3次方程式の場合:$a\neq0$ とし、3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の3つの解を$\alpha$、$\beta$、$\gamma$とします。このとき、

$\alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{c}{a}, \qquad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$

が成り立ちます。

これが解と係数の関係です。直感的には、「方程式を実際に解いて$\alpha,\beta,\dots$を求めなくても、解の和や積といった組合せは、もとの方程式の係数から直接計算できる」ということを意味しています。以下では、$\alpha,\beta,\gamma$がそれぞれ異なる値であるとして証明します。

証明

2次方程式の場合

$\alpha$は方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解なので、$x=\alpha$を代入した式が成り立ちます。

$a\alpha^2+b\alpha+c=0$

これを$c$について解くと、

$c = -a\alpha^2-b\alpha$

この式を、もとの左辺 $ax^2+bx+c$ の$c$に代入します。

$ax^2+bx+c = ax^2+bx+(-a\alpha^2-b\alpha) = a(x^2-\alpha^2)+b(x-\alpha)$

ここで、$x^2-\alpha^2=(x-\alpha)(x+\alpha)$(展開公式)を使うと、

$ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x+\alpha)+b(x-\alpha) = (x-\alpha)\bigl[a(x+\alpha)+b\bigr] = (x-\alpha)(ax+a\alpha+b)$

という形に書き直せました。この等式は、$x$がどんな値であっても成り立つ、$x$についての恒等式です。

$\beta$も方程式の解なので、$x=\beta$を代入すると左辺は$0$になります。したがって、上で得た等式に$x=\beta$を代入すると、

$0 = (\beta-\alpha)(a\beta+a\alpha+b)$

$\alpha$と$\beta$は異なる値であると仮定しているので、$\beta-\alpha\neq0$です。したがって、両辺を$\beta-\alpha$で割ることができて、

$a\beta+a\alpha+b = 0$

これを整理すると、

$a(\alpha+\beta) = -b, \qquad \text{すなわち} \qquad \alpha+\beta = -\frac{b}{a}$

これで1つ目の関係式が証明できました。

次に、積$\alpha\beta$を求めます。上で得た $a(\alpha+\beta)=-b$ を $b=-a\alpha-a\beta$ と書き換え、先ほどの因数分解の式 $ax^2+bx+c=(x-\alpha)(ax+a\alpha+b)$ の中の $a\alpha+b$ の部分に代入すると、

$a\alpha+b = a\alpha+(-a\alpha-a\beta) = -a\beta$

したがって、

$ax^2+bx+c = (x-\alpha)(ax-a\beta) = a(x-\alpha)(x-\beta)$

という、完全に因数分解された形が得られました。この右辺を展開すると、

$a(x-\alpha)(x-\beta) = a\bigl[x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\bigr] = ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta$

もとの式 $ax^2+bx+c$ と、この展開した式は、同じ多項式(すべての$x$について値が等しい式)なので、定数項($x$を含まない項)どうしも等しくなければなりません。

$c = a\alpha\beta$

両辺を$a$で割ると($a\neq0$なので割ることができます)、

$\alpha\beta = \frac{c}{a}$

これで2つ目の関係式も証明できました。

3次方程式の場合

2次方程式の場合と同じ考え方を使います。$\alpha$は方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の解なので、

$a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha+d=0$

これを$d$について解くと、

$d = -a\alpha^3-b\alpha^2-c\alpha$

もとの左辺に代入します。

$ax^3+bx^2+cx+d = a(x^3-\alpha^3)+b(x^2-\alpha^2)+c(x-\alpha)$

ここで、展開公式 $x^3-\alpha^3=(x-\alpha)(x^2+\alpha x+\alpha^2)$ と $x^2-\alpha^2=(x-\alpha)(x+\alpha)$ を使うと、

$ax^3+bx^2+cx+d = a(x-\alpha)(x^2+\alpha x+\alpha^2)+b(x-\alpha)(x+\alpha)+c(x-\alpha)$

$(x-\alpha)$が共通しているのでくくり出すと、

$ax^3+bx^2+cx+d = (x-\alpha)\Bigl[a(x^2+\alpha x+\alpha^2)+b(x+\alpha)+c\Bigr]$

かっこの中を$x$について整理すると、

$a(x^2+\alpha x+\alpha^2)+b(x+\alpha)+c = ax^2+(a\alpha+b)x+(a\alpha^2+b\alpha+c)$

そこで、

$Q(x) = ax^2+(a\alpha+b)x+(a\alpha^2+b\alpha+c)$

とおくと、

$ax^3+bx^2+cx+d = (x-\alpha)\,Q(x)$

という形に書けました。

$\beta$、$\gamma$も、もとの3次方程式の解なので、$x=\beta$、$x=\gamma$を代入すると左辺は$0$になります。$\beta\neq\alpha$、$\gamma\neq\alpha$なので、上の式にそれぞれ代入すると、

$0=(\beta-\alpha)Q(\beta) \ \Rightarrow\ Q(\beta)=0, \qquad 0=(\gamma-\alpha)Q(\gamma) \ \Rightarrow\ Q(\gamma)=0$

つまり、$\beta$と$\gamma$は、2次式$Q(x)$を$0$とおいた方程式 $Q(x)=0$ の解になっています。$Q(x)$の$x^2$の係数は$a$なので、先ほど2次方程式の場合に証明したのと全く同じ手順を$Q(x)$に対して適用すると、

$Q(x) = a(x-\beta)(x-\gamma)$

と因数分解できます(2次方程式の証明の中で示した通り、2次式の$x^2$の係数と2つの解が分かれば、その2次式は必ずこの形に因数分解できます)。

したがって、

$ax^3+bx^2+cx+d = (x-\alpha)\,Q(x) = (x-\alpha)\cdot a(x-\beta)(x-\gamma) = a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$

という、完全に因数分解された形が得られました。

この右辺を展開します。まず、$(x-\alpha)(x-\beta)$ を展開すると(2次方程式の証明で使ったのと同じ計算です)、

$(x-\alpha)(x-\beta) = x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta$

これに $(x-\gamma)$ をかけます。

$\bigl[x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\bigr](x-\gamma)$

分配法則を使って展開します。

$= x^3-\gamma x^2-(\alpha+\beta)x^2+(\alpha+\beta)\gamma x+\alpha\beta x-\alpha\beta\gamma$

同類項をまとめます。$x^2$の項は $-\gamma x^2-(\alpha+\beta)x^2 = -(\alpha+\beta+\gamma)x^2$、$x$の項は $(\alpha+\beta)\gamma x+\alpha\beta x = (\alpha\gamma+\beta\gamma+\alpha\beta)x = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x$ となるので、

$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma$

両辺に$a$をかけると、

$a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = ax^3-a(\alpha+\beta+\gamma)x^2+a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-a\alpha\beta\gamma$

これはもとの式 $ax^3+bx^2+cx+d$ と同じ多項式なので、それぞれの次数の項の係数どうしが等しくなければなりません。

$x^2$の係数を比べると、

$b = -a(\alpha+\beta+\gamma) \quad \Rightarrow \quad \alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a}$

$x$の係数を比べると、

$c = a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \quad \Rightarrow \quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{c}{a}$

定数項を比べると、

$d = -a\alpha\beta\gamma \quad \Rightarrow \quad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$

これで、3次方程式の場合の解と係数の関係もすべて証明できました。

検算

$(x-1)(x-2)(x-3)=0$ を展開すると、まず $(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$ となり、これに$(x-3)$をかけると、

$x^3-3x^2+2x-3x^2+9x-6 = x^3-6x^2+11x-6$

したがって $a=1,b=-6,c=11,d=-6$ で、解は$\alpha=1,\beta=2,\gamma=3$です。実際に確かめると、

$\alpha+\beta+\gamma=1+2+3=6=-\frac{-6}{1}=-\frac{b}{a}$

$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=1\times2+2\times3+3\times1=2+6+3=11=\frac{11}{1}=\frac{c}{a}$

$\alpha\beta\gamma=1\times2\times3=6=-\frac{-6}{1}=-\frac{d}{a}$

すべて一致しており、証明した関係式が正しく成り立っていることが確認できます。

この証明のポイント

「方程式の解が分かっている」という情報を、「左辺の多項式がその解を使って因数分解できる」という形に翻訳し、それを展開して係数どうしを比較するという流れは、解と係数の関係だけでなく、因数定理や、高次方程式の性質を調べるさまざまな場面で使われる、非常に汎用性の高いテクニックです。