加法定理の証明

証明する内容

任意の角$\alpha$、$\beta$について、次の等式(加法定理)が成り立ちます。

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

直感的には、「2つの角を足し合わせた角のサイン・コサインは、それぞれの角のサイン・コサインだけを使って(足し算やかけ算だけで)計算できる」ということを意味しています。

証明の途中では、まず次の式(角の差についての余弦の公式)を先に証明し、そこから上の2つの式を導きます。

$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

証明

準備:単位円上の点

原点Oを中心とする半径1の円(単位円)を考えます。角$\theta$に対して、単位円上で、正の$x$軸から反時計回りに角$\theta$だけ回転した位置にある点を$(\cos\theta,\sin\theta)$と表すことができます。これは、コサイン・サインの定義そのものです。

点$\mathrm{A}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$、点$\mathrm{B}=(\cos\beta,\sin\beta)$を、この単位円上の2点とします。

ステップ1:2点間の距離ABの2乗を、直接座標から計算する

2点間の距離の公式を使うと、

$AB^2 = (\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2$

右辺を展開します。

$(\cos\alpha-\cos\beta)^2 = \cos^2\alpha-2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta$

$(\sin\alpha-\sin\beta)^2 = \sin^2\alpha-2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta$

この2つを足し合わせると、

$AB^2 = \cos^2\alpha+\sin^2\alpha+\cos^2\beta+\sin^2\beta-2\cos\alpha\cos\beta-2\sin\alpha\sin\beta$

ここで、三角比の基本的な関係式 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を、$\theta=\alpha$と$\theta=\beta$のそれぞれに使うと、$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$、$\cos^2\beta+\sin^2\beta=1$なので、

$AB^2 = 1+1-2\cos\alpha\cos\beta-2\sin\alpha\sin\beta = 2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) \tag{1}$

ステップ2:回転を使って、2点間の距離ABを別の形で表す

原点Oを中心として平面全体を、ある角だけ回転させる操作を考えます。回転は図形の形を変えない移動(合同変換)なので、回転させても、どの2点間の距離も変化しません。

いま、点Aと点Bの両方を、原点Oを中心として、角$-\beta$だけ回転させることを考えます(角$-\beta$だけ回転するとは、角$\beta$だけ、反時計回りとは逆向き(時計回り)に回転させることです)。

単位円上で角$\varphi$の位置にある点、つまり$(\cos\varphi,\sin\varphi)$という点を、角$-\beta$だけ回転させると、その点は単位円上で角$\varphi+(-\beta)=\varphi-\beta$の位置に移ります。これは、「角$\theta$だけ回転させる」という操作が、単位円上の点を指定している角に$\theta$を足す操作そのものだからです。

この規則を、点B(角$\beta$の位置にある点)に当てはめると、回転後の点は角$\beta+(-\beta)=0$の位置、つまり

$(\cos0°,\sin0°) = (1,0)$

に移ります。

同じ規則を、点A(角$\alpha$の位置にある点)に当てはめると、回転後の点は角$\alpha+(-\beta)=\alpha-\beta$の位置、つまり

$(\cos(\alpha-\beta),\sin(\alpha-\beta))$

に移ります。

回転は2点間の距離を変えないので、回転前の距離ABと、回転後の2点間の距離は等しくなります。つまり、

$AB = \bigl(\,(1,0)\text{と}(\cos(\alpha-\beta),\sin(\alpha-\beta))\text{の間の距離}\,\bigr)$

そこで、この右辺を2点間の距離の公式で計算します。

$AB^2 = \bigl(\cos(\alpha-\beta)-1\bigr)^2+\bigl(\sin(\alpha-\beta)-0\bigr)^2$

右辺を展開します。

$\bigl(\cos(\alpha-\beta)-1\bigr)^2 = \cos^2(\alpha-\beta)-2\cos(\alpha-\beta)+1$

$\bigl(\sin(\alpha-\beta)-0\bigr)^2 = \sin^2(\alpha-\beta)$

この2つを足し合わせると、

$AB^2 = \cos^2(\alpha-\beta)+\sin^2(\alpha-\beta)-2\cos(\alpha-\beta)+1$

再び $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を、$\theta=\alpha-\beta$として使うと、$\cos^2(\alpha-\beta)+\sin^2(\alpha-\beta)=1$なので、

$AB^2 = 1-2\cos(\alpha-\beta)+1 = 2-2\cos(\alpha-\beta) \tag{2}$

ステップ3:(1)と(2)を比較して、$\cos(\alpha-\beta)$の公式を得る

(1)と(2)は、どちらも同じ$AB^2$を表しているので、

$2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) = 2-2\cos(\alpha-\beta)$

両辺から$2$を引きます。

$-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) = -2\cos(\alpha-\beta)$

両辺を$-2$で割ります。

$\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta)$

すなわち、

$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \tag{3}$

が証明できました。

ステップ4:$\cos(\alpha+\beta)$の公式を導く

(3)の式は、$\alpha$と$\beta$がどんな角であっても成り立つ式なので、$\beta$のところに$-\beta$を代入しても成り立ちます。

$\cos(\alpha-(-\beta)) = \cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)$

左辺の $\alpha-(-\beta)$ は $\alpha+\beta$ に等しいので、

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)$

ここで、単位円上で角$-\beta$の位置にある点$(\cos(-\beta),\sin(-\beta))$は、角$\beta$の位置にある点$(\cos\beta,\sin\beta)$を、$x$軸に関して線対称に折り返した点になります(反時計回りに角$\beta$だけ回転した位置と、時計回りに角$\beta$だけ回転した位置は、$x$軸を挟んで線対称の位置にあるためです)。線対称な2点は、$x$座標が等しく、$y$座標の符号だけが反対になるので、

$\cos(-\beta) = \cos\beta, \qquad \sin(-\beta) = -\sin\beta$

が成り立ちます。これを代入すると、

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\times(-\sin\beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

これで、$\cos(\alpha+\beta)$の公式が証明できました。

ステップ5:$\sin(\alpha+\beta)$の公式を導く

まず、次の補助的な事実を示します。

補助事実:どんな角$\theta$についても、$\cos(90°-\theta)=\sin\theta$ が成り立つ。

これは、(3)の式($\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$)において、$\alpha=90°$、$\beta=\theta$とおくことで得られます。

$\cos(90°-\theta) = \cos90°\cos\theta+\sin90°\sin\theta$

$\cos90°=0$、$\sin90°=1$なので、

$\cos(90°-\theta) = 0\times\cos\theta+1\times\sin\theta = \sin\theta$

これで補助事実が示せました。

次に、この補助事実を使って $\sin(90°-\theta)=\cos\theta$ も示します。補助事実の$\theta$のところに、$90°-\theta$を代入すると、

$\cos\bigl(90°-(90°-\theta)\bigr) = \sin(90°-\theta)$

左辺の $90°-(90°-\theta)$ は $\theta$ に等しいので、

$\cos\theta = \sin(90°-\theta)$

すなわち、

$\sin(90°-\theta) = \cos\theta$

これで、$\cos(90°-\theta)=\sin\theta$ と $\sin(90°-\theta)=\cos\theta$ の両方が示せました。

さて、$\sin(\alpha+\beta)$を計算します。補助事実を、$\theta=\alpha+\beta$として使うと、

$\sin(\alpha+\beta) = \cos\bigl(90°-(\alpha+\beta)\bigr)$

右辺のかっこの中を書き換えます。$90°-(\alpha+\beta) = (90°-\alpha)-\beta$ なので、

$\sin(\alpha+\beta) = \cos\bigl((90°-\alpha)-\beta\bigr)$

ここで、(3)の式(角の差の余弦の公式)を、$\alpha$のかわりに$90°-\alpha$を、$\beta$のかわりに$\beta$を当てはめて使うと、

$\cos\bigl((90°-\alpha)-\beta\bigr) = \cos(90°-\alpha)\cos\beta+\sin(90°-\alpha)\sin\beta$

先ほど示した補助事実より、$\cos(90°-\alpha)=\sin\alpha$、$\sin(90°-\alpha)=\cos\alpha$ なので、これを代入すると、

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

これで、$\sin(\alpha+\beta)$の公式も証明できました。

検算

$\alpha=60°$、$\beta=30°$の場合で確かめます。$\cos60°=\dfrac{1}{2}$、$\sin60°=\dfrac{\sqrt3}{2}$、$\cos30°=\dfrac{\sqrt3}{2}$、$\sin30°=\dfrac{1}{2}$です。

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\times\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{\sqrt3}{4}-\frac{\sqrt3}{4}=0$

実際、$\alpha+\beta=90°$なので、$\cos90°=0$と一致します。

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta = \frac{\sqrt3}{2}\times\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$

実際、$\sin90°=1$と一致します。証明した公式が正しく成り立っていることが確認できました。

この証明のポイント

「同じ量(この場合は2点間の距離)を、2つの異なる方法で計算し、その結果を比較して等式を得る」という進め方は、加法定理に限らず、数学のさまざまな公式を発見・証明する際に使われる強力な戦略です。また、回転という図形の移動が距離や角度を変えないという性質を利用して、複雑に見える2点の配置を、片方が$(1,0)$になるような単純な配置に置き換えるという発想は、座標やベクトルを使う証明で広く応用できます。