方べきの定理の証明

証明する内容

場合1(交点が円の内部にあるとき):円周上に4点A、B、C、Dがあり、弦AB(点AとBを結ぶ線分)と弦CD(点CとDを結ぶ線分)が、円の内部の点Pで交わっているとします。このとき、次の等式が成り立ちます。

$PA\times PB = PC\times PD$

場合2(交点が円の外部にあるとき):円の外部の点Pから2本の直線を引き、1本目の直線が円と2点A、B(Pに近い方をA、遠い方をBとする)で交わり、2本目の直線が円と2点C、D(Pに近い方をC、遠い方をDとする)で交わっているとします。このとき、次の等式が成り立ちます。

$PA\times PB = PC\times PD$

これが方べきの定理です。直感的には、「1つの点から円に向かって引いた直線が円と交わる2点までの距離の積は、その点からどの向きに直線を引いても(円の内部の点なら弦の組み合わせによらず、円の外部の点なら直線の引き方によらず)常に一定の値になる」ということを意味しています。

証明

場合1:交点Pが円の内部にあるとき

弦ABと弦CDが円の内部の点Pで交わっているとします。Pは弦ABの内部の点なので、点Aと点Bの間にあり、同様に弦CDの内部の点なので、点Cと点Dの間にあります。

2本の弦AB、CDが円の内部で交わるためには、4つの点A、B、C、Dが円周上でA、C、B、Dの順(交互の順序)に並んでいる必要があります。これは、弦ABが円を2つの弧に分けたとき、弦CDの両端C、Dがそれぞれ違う方の弧に属していなければ、弦CDが弦ABと円の内部で交わることができないためです。

補助線として、線分ACと線分BDを引きます。これにより、三角形APCと三角形DPBという2つの三角形ができます。この2つの三角形が相似であることを示します。

角の組1:$\angle APC = \angle DPB$

点A、P、Bはこの順に一直線上に並んでいて、点C、P、Dもこの順に一直線上に並んでいます。つまり、直線ABと直線CDが点Pで交わっており、$\angle APC$と$\angle DPB$は、この2直線が交わることでできる対頂角(向かい合う角)です。対頂角は等しいので、

$\angle APC = \angle DPB$

角の組2:$\angle PAC = \angle PDB$

点Pは点Aと点Bの間にあるので、点Aから点Pを見る向きと、点Aから点Bを見る向きは同じです。したがって、

$\angle PAC = \angle BAC$

が成り立ちます($\angle PAC$は、$\angle BAC$のうち、Pの方向がBの方向と同じであることから、同じ角を指しています)。

同様に、点Pは点Cと点Dの間にあるので、点Dから点Pを見る向きと、点Dから点Cを見る向きは同じです。したがって、

$\angle PDB = \angle CDB$

先ほど確認したように、4点はA、C、B、Dの順に円周上に並んでいます。この順序で並んでいるとき、弦BCに対して、点Aと点Dは同じ側の弧の上にあります(なぜなら、弦BCが円を2つの弧に分けたとき、一方の弧は点B、Cのすぐ間の弧(他の点を含まない側)であり、もう一方の弧が点A、Dを両方含む側になるからです)。円周角の定理より、1つの弦に対して同じ側にある円周角は等しいので、

$\angle BAC = \angle BDC$

($\angle BDC$と$\angle CDB$は同じ角を指しています。)以上をまとめると、

$\angle PAC = \angle BAC = \angle BDC = \angle CDB = \angle PDB$

したがって、$\angle PAC = \angle PDB$ が成り立ちます。

相似の結論

角の組1と角の組2により、三角形APCと三角形DPBは、2組の角がそれぞれ等しいので相似です。対応する頂点は、P↔P、A↔D、C↔Bです。相似な三角形では対応する辺の比がすべて等しいので、

$\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}$

この式の両辺に$PD\times PB$をかけます。

$PA\times PB = PC\times PD$

これで、交点が円の内部にある場合の方べきの定理が証明できました。

場合2:交点Pが円の外部にあるとき

円の外部の点Pから引いた2本の直線が、それぞれ円と2点で交わっているとします。1本目の直線上で、Pに近い方の交点をA、遠い方の交点をBとし、2本目の直線上で、Pに近い方の交点をC、遠い方の交点をDとします。つまり、直線上でP、A、Bの順、および、P、C、Dの順に並んでいます。

補助線として、線分ACと線分BDを引きます。これにより、三角形APCと三角形DPBができます。この2つの三角形が相似であることを示します。

角の組1:$\angle APC = \angle DPB$

点Pから見て、点Aと点Bは同じ直線上の同じ向きにあり(P、A、Bの順)、点Cと点Dも同じ直線上の同じ向きにあります(P、C、Dの順)。したがって、$\angle APC$(直線PBと直線PDのなす角)と$\angle DPB$(直線PDと直線PBのなす角)は、実は全く同じ角を指しています。よって、

$\angle APC = \angle DPB$

角の組2:$\angle PAC = \angle PDB$

点Aは点Pと点Bの間にあるので、点Aから点Pを見る向きと、点Aから点Bを見る向きは反対向きです。つまり、直線ABの上で、光線APと光線ABは互いに反対向きの光線です。したがって、これらが線分ACとなす角どうしを合わせると一直線($180°$)になるので、

$\angle PAC + \angle BAC = 180°, \qquad \text{すなわち} \qquad \angle PAC = 180° - \angle BAC$

一方、点Dについては、点Cが点Pと点Dの間にあるので、点Dから点Pを見る向きと、点Dから点Cを見る向きは同じです。したがって、

$\angle PDB = \angle CDB$

ここで、点A、B、C、Dの円周上での並び方を確認します。円の外部の点Pから引いた2本の直線が円と交わる4点は、Pに近い2点(A、C)どうしが円周上で隣り合い、Pから遠い2点(B、D)どうしが円周上で隣り合うように並びます(これは、Pに近い交点は円のうちPに面した側の弧の上に、Pから遠い交点は円のうちPから見て奥側の弧の上にできるためです)。つまり、円周上の並び順はA、B、D、Cの順(またはこれと同じ並びを逆から見たもの)になります。

このとき、弦BCに対して、点Aと点Dは反対側の弧の上にあります(弦BCが円を2つの弧に分けたとき、一方には他の点を含まず、もう一方に点Aと点Dの両方を含む、というA、C、B、Dの順の並び方とは異なり、A、B、D、Cの順の並びでは、点Aと点Dは弦BCを挟んでちょうど反対側に位置することになります)。円周角の定理より、1つの弦に対して反対側にある円周角どうしの和は$180°$になるので、

$\angle BAC + \angle BDC = 180°$

すなわち、

$\angle BAC = 180° - \angle BDC$

さきほど、$\angle PAC = 180° - \angle BAC$ であったので、これに代入すると、

$\angle PAC = 180° - (180°-\angle BDC) = \angle BDC$

$\angle BDC$と$\angle CDB$は同じ角なので、$\angle BDC=\angle CDB=\angle PDB$(先ほど示した通り)です。したがって、

$\angle PAC = \angle BDC = \angle PDB$

すなわち $\angle PAC = \angle PDB$ が成り立ちます。

相似の結論

角の組1と角の組2により、三角形APCと三角形DPBは、2組の角がそれぞれ等しいので相似です。対応する頂点は、P↔P、A↔D、C↔Bです。したがって、

$\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}$

この式の両辺に$PD\times PB$をかけます。

$PA\times PB = PC\times PD$

これで、交点が円の外部にある場合の方べきの定理も証明できました。

この証明のポイント

円が絡む図形の証明では、円周角の定理を使って「離れた場所にある角どうしが実は等しい(あるいは足すと$180°$になる)」ことを示し、それによって相似な三角形を作り出すという流れが基本パターンです。また、1直線上に並ぶ3点の位置関係(どの点がどの点の間にあるか)を正確に把握して、角度の足し算・引き算(同じ角になる場合と、足して$180°$になる場合)を正しく使い分けることが、場合分けを含む証明を正確に進めるうえで重要です。