ド・モアブルの定理の証明

証明する内容

$\theta$ を任意の実数、$n$ を正の整数とするとき、次の等式が成り立ちます。

$ (\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta) $

これをド・モアブルの定理と呼びます。左辺は「複素数 $\cos\theta+i\sin\theta$ を $n$ 回かけ合わせたもの」であり、右辺は「もとの角度 $\theta$ を $n$ 倍した角度に対応する複素数」です。つまりこの定理は、複素数のかけ算を繰り返す操作が、角度の世界では単なる足し算(角度を $n$ 倍すること)に対応している、ということを主張しています。

証明

正の整数 $n$ に関する数学的帰納法で証明します。

ステップ1: $n=1$ のときに成り立つことを確認する

$n=1$ のとき、左辺は

$ (\cos\theta+i\sin\theta)^1 = \cos\theta+i\sin\theta $

であり、右辺は

$ \cos(1\cdot\theta)+i\sin(1\cdot\theta) = \cos\theta+i\sin\theta $

です。左辺と右辺が一致するので、$n=1$ のとき定理は成り立ちます。

ステップ2: $n=k$ で成り立つと仮定する

ある正の整数 $k$ について、

$ (\cos\theta+i\sin\theta)^k = \cos(k\theta)+i\sin(k\theta) \quad \cdots (\ast) $

が成り立っていると仮定します。この仮定のもとで、$n=k+1$ のとき、つまり

$ (\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1} = \cos((k+1)\theta)+i\sin((k+1)\theta) $

が成り立つことを示します。

ステップ3: $n=k+1$ の場合を計算する

まず、指数法則を使って、左辺を書き換えます。

$ (\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1} = (\cos\theta+i\sin\theta)^k \cdot (\cos\theta+i\sin\theta) $

ここで、帰納法の仮定 $(\ast)$ を使って、$(\cos\theta+i\sin\theta)^k$ を $\cos(k\theta)+i\sin(k\theta)$ に置き換えます。

$ (\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1} = \left(\cos(k\theta)+i\sin(k\theta)\right)\left(\cos\theta+i\sin\theta\right) $

右辺を、複素数のかけ算の規則にしたがって展開します。分配法則を使って4つの積の和にします。

$ = \cos(k\theta)\cos\theta + \cos(k\theta)\cdot i\sin\theta + i\sin(k\theta)\cos\theta + i\sin(k\theta)\cdot i\sin\theta $

$i$ を含む項をまとめ、また $i\cdot i = i^2=-1$ であることを使って最後の項を整理すると、

$ = \cos(k\theta)\cos\theta + i^2\sin(k\theta)\sin\theta + i\left(\cos(k\theta)\sin\theta+\sin(k\theta)\cos\theta\right) $

$ = \cos(k\theta)\cos\theta - \sin(k\theta)\sin\theta + i\left(\sin(k\theta)\cos\theta+\cos(k\theta)\sin\theta\right) $

となります(実部と虚部に分けて整理しました)。

ステップ4: 加法定理を適用する

ここで、実部の $\cos(k\theta)\cos\theta-\sin(k\theta)\sin\theta$ という形は、余弦の加法定理

$ \cos(A+B) = \cos A\cos B-\sin A\sin B $

において $A=k\theta$, $B=\theta$ とした場合の右辺そのものです。したがって、

$ \cos(k\theta)\cos\theta-\sin(k\theta)\sin\theta = \cos(k\theta+\theta) = \cos((k+1)\theta) $

また、虚部の $\sin(k\theta)\cos\theta+\cos(k\theta)\sin\theta$ という形は、正弦の加法定理

$ \sin(A+B) = \sin A\cos B+\cos A\sin B $

において $A=k\theta$, $B=\theta$ とした場合の右辺そのものです。したがって、

$ \sin(k\theta)\cos\theta+\cos(k\theta)\sin\theta = \sin(k\theta+\theta) = \sin((k+1)\theta) $

この2つを、ステップ3の最後の式に代入すると、

$ (\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1} = \cos((k+1)\theta) + i\sin((k+1)\theta) $

が得られます。これは、示したかった $n=k+1$ の場合の等式そのものです。

ステップ5: 結論

ステップ1で $n=1$ の場合を確認し、ステップ2からステップ4で「$n=k$ で成り立てば $n=k+1$ でも成り立つ」ことを示しました。数学的帰納法の原理により、すべての正の整数 $n$ について、

$ (\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta) $

が成り立つことが証明されました。

この証明のポイント

複素数の積を計算する際に、$i^2=-1$ を使って実部と虚部に整理すると、実部にはちょうど余弦の加法定理の形が、虚部にはちょうど正弦の加法定理の形が自然に現れる、という点がこの証明の面白いところです。複素数のかけ算と三角関数の加法定理がこのようにつながっていることを知っておくと、複素数と図形・角度の関係を考える他の問題でも見通しがよくなります。