楕円の定義と方程式の導出

証明する内容

$x$ 軸上の2点 $F(c,0)$、$F'(-c,0)$ (ただし $c>0$)を考えます。この2点を焦点と呼びます。平面上の点 $P$ のうち、

$ PF + PF' = 2a \quad (a > c > 0) $

を満たす点全体が描く図形を楕円と呼びます。ここで $PF$, $PF'$ はそれぞれ点 $P$ から焦点 $F$, $F'$ までの距離を表します。

この定義から出発して、$b^2=a^2-c^2$ とおくと、この楕円は座標 $(x,y)$ に関する方程式

$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 $

を満たすことを示します。これが、楕円の標準形と呼ばれる方程式です。

証明

ステップ1: 距離の条件を式に書く

点 $P$ の座標を $(x,y)$ とします。2点間の距離の公式(三平方の定理)を使うと、

$ PF = \sqrt{(x-c)^2+y^2}, \qquad PF' = \sqrt{(x+c)^2+y^2} $

です。楕円の定義である $PF+PF'=2a$ に、これらを代入すると、

$ \sqrt{(x-c)^2+y^2} + \sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a $

という方程式が得られます。この式には根号(ルート)が2つあるので、これを順番に外していきます。

ステップ2: 根号を1つだけ残す形に変形する

上の式の左辺にある根号のうち、$\sqrt{(x+c)^2+y^2}$ の方を右辺に移項します。

$ \sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2+y^2} $

ステップ3: 両辺を2乗する

両辺を2乗します。左辺は、

$ \left(\sqrt{(x+c)^2+y^2}\right)^2 = (x+c)^2+y^2 $

右辺は、$(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$ の公式($A=2a$, $B=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$)を使って、

$ \left(2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\right)^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + \left((x-c)^2+y^2\right) $

したがって、

$ (x+c)^2+y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2+y^2 $

という式が得られます。

ステップ4: 式を整理して根号を1つだけの式にする

両辺から $y^2$ を消し、さらに $(x+c)^2$ と $(x-c)^2$ を展開して整理します。まず、

$ (x+c)^2 = x^2+2cx+c^2, \qquad (x-c)^2 = x^2-2cx+c^2 $

ですので、両辺から $y^2$ を引いた上で、これらを代入すると、

$ x^2+2cx+c^2 = 4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+x^2-2cx+c^2 $

両辺から $x^2+c^2$ を引きます。

$ 2cx = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} - 2cx $

右辺の $-2cx$ を左辺に移項します。

$ 2cx+2cx = 4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} $

$ 4cx = 4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} $

両辺を $4$ で割ります。

$ cx = a^2 - a\sqrt{(x-c)^2+y^2} $

根号の項だけを左辺に、それ以外を右辺に移項します。

$ a\sqrt{(x-c)^2+y^2} = a^2-cx $

これで、根号が1つだけの式になりました。

ステップ5: もう一度2乗する

両辺を2乗します。左辺は、

$ \left(a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\right)^2 = a^2\left((x-c)^2+y^2\right) $

右辺は、$(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$ の公式($A=a^2$, $B=cx$)を使って、

$ (a^2-cx)^2 = a^4 - 2a^2cx+c^2x^2 $

したがって、

$ a^2\left((x-c)^2+y^2\right) = a^4-2a^2cx+c^2x^2 $

左辺を展開します。$(x-c)^2=x^2-2cx+c^2$ なので、

$ a^2(x^2-2cx+c^2) + a^2y^2 = a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2 $

したがって、

$ a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2 = a^4-2a^2cx+c^2x^2 $

ステップ6: 式を整理する

両辺に共通する $-2a^2cx$ を消すため、両辺に $2a^2cx$ を加えます。

$ a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2 = a^4+c^2x^2 $

$x^2$ を含む項を左辺に、定数項($x,y$ を含まない項)を右辺に集めます。左辺から $c^2x^2$ を引き、右辺から $a^2c^2$ を引きます。

$ a^2x^2-c^2x^2+a^2y^2 = a^4-a^2c^2 $

左辺の $x^2$ の項を $x^2$ でくくり、右辺は $a^2$ でくくります。

$ (a^2-c^2)x^2+a^2y^2 = a^2(a^2-c^2) $

ステップ7: $b^2=a^2-c^2$ を代入して標準形にする

ここで、仮定より $a>c>0$ なので $a^2>c^2$ であり、$a^2-c^2>0$ が成り立ちます。そこで、この正の値を $b^2$ とおきます。

$ b^2 = a^2-c^2 \quad (b>0) $

これをステップ6の式に代入すると、

$ b^2x^2+a^2y^2 = a^2b^2 $

となります。両辺を $a^2b^2$ で割ります($a>0$, $b>0$ なので $a^2b^2>0$ であり、割ることができます)。

$ \frac{b^2x^2}{a^2b^2}+\frac{a^2y^2}{a^2b^2} = \frac{a^2b^2}{a^2b^2} $

左辺の分数をそれぞれ約分します。

$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 $

これで、楕円の標準形の方程式が導かれました。

この証明のポイント

「距離の和が一定」という、根号を2つ含む扱いにくい条件式を、片方の根号だけを残す形に変形してから2乗し、それを繰り返すことで根号を完全に消す、という手順が、この導出の中心的なテクニックです。2乗するたびに式を丁寧に展開し、共通する項を消していく根気強い計算が必要になりますが、各ステップは移項と展開と約分という基本的な式変形の繰り返しに過ぎません。