チェバの定理の証明

証明する内容

三角形ABCの内部に点Pをとり、直線AP、BP、CPが、それぞれ辺BC、CA、ABと交わる点をD、E、Fとします(つまり、Pを通る3本の線が、三角形の3つの辺のそれぞれと1点で交わっている状況です)。

このとき、次の等式が成り立ちます。

$\frac{BD}{DC}\times\frac{CE}{EA}\times\frac{AF}{FB} = 1$

これがチェバの定理です。直感的には、「三角形の内部の1点から3つの頂点に向かって引いた3本の線が対辺を分ける比を、それぞれ決まった順番でかけ合わせると、必ず1になる」ということを意味しています。

証明

準備:2つの補助的な事実

証明を進める前に、この先何度も使う2つの事実を確認しておきます。

事実1(底辺の比と面積の比):同じ頂点を持ち、底辺が同じ直線上にある2つの三角形について、それらの面積の比は、底辺の長さの比に等しくなります。

これは、三角形の面積が「$\dfrac{1}{2}\times$底辺$\times$高さ」で計算でき、頂点が共通で底辺が同じ直線上にある場合、その頂点から底辺を含む直線までの距離(高さ)がどちらの三角形でも同じ値になるためです。つまり、2つの三角形の面積は、共通の高さを$h$、底辺をそれぞれ$m$、$n$とすると、$\dfrac{1}{2}mh$ と $\dfrac{1}{2}nh$ であり、その比は

$\frac{\frac{1}{2}mh}{\frac{1}{2}nh} = \frac{m}{n}$

となって、高さ$h$が約分されて消えるため、底辺の比$m:n$だけで面積の比が決まります。

事実2(等しい比の性質):4つの数$x_1,y_1,x_2,y_2$について、$\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}$ が成り立ち、かつ $y_1\neq y_2$ であるとき、

$\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = \frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}$

が成り立ちます。これを確かめます。$\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}=k$ とおくと、$x_1=y_1k$、$x_2=y_2k$ です。この2式の辺々を引くと、

$x_1-x_2 = y_1k-y_2k = (y_1-y_2)k$

$y_1\neq y_2$ より $y_1-y_2\neq 0$ なので、両辺を$y_1-y_2$で割ると、

$\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}=k$

したがって、$\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}=\dfrac{x_1-x_2}{y_1-y_2}$ が成り立つことが確認できました。

三角形の面積の記号を用意する

以下では、三角形PBC、三角形PCA、三角形PABの面積を、それぞれ

$S_A = (\text{三角形PBCの面積}), \qquad S_B = (\text{三角形PCAの面積}), \qquad S_C = (\text{三角形PABの面積})$

と表すことにします(頂点Aに向かい合う三角形PBCの面積を$S_A$、というように、対応する頂点の名前を添え字にしています)。

ステップ1:$\dfrac{BD}{DC}$ を面積の比で表す

点Dは辺BC上にあり、頂点Aから見ると、辺BCは点Dによって線分BDと線分DCに分けられています。三角形ABDと三角形ACDは、共通の頂点Aを持ち、底辺BD、DCがどちらも直線BC上にあります。事実1より、

$\frac{BD}{DC} = \frac{(\text{三角形ABDの面積})}{(\text{三角形ACDの面積})} \tag{1}$

同じように、三角形PBDと三角形PCDも、共通の頂点Pを持ち、底辺BD、DCが直線BC上にあります。事実1より、

$\frac{BD}{DC} = \frac{(\text{三角形PBDの面積})}{(\text{三角形PCDの面積})} \tag{2}$

次に、点Pは線分AD上にあります(なぜなら、Pは直線APと直線BCの交点であるDと、Aを結ぶ線分AD上にあるからです)。したがって、辺ADを持つ三角形ABDは、点Pによって、三角形ABPと三角形PBDの2つに分けられます。面積について、

$(\text{三角形ABDの面積}) = (\text{三角形ABPの面積}) + (\text{三角形PBDの面積}) \tag{3}$

同じ理由で、三角形ACDも、点Pによって、三角形ACPと三角形PCDの2つに分けられます。

$(\text{三角形ACDの面積}) = (\text{三角形ACPの面積}) + (\text{三角形PCDの面積}) \tag{4}$

さて、(1)と(2)により、$\dfrac{BD}{DC}$ は、$x_1=(\text{三角形ABDの面積})$、$y_1=(\text{三角形ACDの面積})$、$x_2=(\text{三角形PBDの面積})$、$y_2=(\text{三角形PCDの面積})$ として、$\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}$ の形になっています。事実2を使うと、

$\frac{BD}{DC} = \frac{x_1-x_2}{y_1-y_2} = \frac{(\text{三角形ABDの面積})-(\text{三角形PBDの面積})}{(\text{三角形ACDの面積})-(\text{三角形PCDの面積})}$

ここで、(3)より分子は $(\text{三角形ABDの面積})-(\text{三角形PBDの面積}) = (\text{三角形ABPの面積})$ であり、(4)より分母は $(\text{三角形ACDの面積})-(\text{三角形PCDの面積}) = (\text{三角形ACPの面積})$ です。したがって、

$\frac{BD}{DC} = \frac{(\text{三角形ABPの面積})}{(\text{三角形ACPの面積})}$

三角形ABPは三角形PABと同じ三角形であり、三角形ACPは三角形PCAと同じ三角形なので、先ほど用意した記号を使うと、これは

$\frac{BD}{DC} = \frac{S_C}{S_B} \tag{5}$

と書けます。

ステップ2:$\dfrac{CE}{EA}$ を面積の比で表す

全く同じ考え方を、点Dのかわりに点E(辺CA上の点)、頂点Aのかわりに頂点B、線分ADのかわりに線分BEに当てはめます。

三角形BCEと三角形BAEは、共通の頂点Bを持ち、底辺CE、EAが直線CA上にあるので、事実1より、

$\frac{CE}{EA} = \frac{(\text{三角形BCEの面積})}{(\text{三角形BAEの面積})}$

三角形PCEと三角形PAEも、共通の頂点Pを持ち、底辺CE、EAが直線CA上にあるので、

$\frac{CE}{EA} = \frac{(\text{三角形PCEの面積})}{(\text{三角形PAEの面積})}$

点Pは線分BE上にあるので、三角形BCEは点Pによって三角形BCPと三角形PCEに分けられ、三角形BAEは点Pによって三角形BAPと三角形PAEに分けられます。ステップ1と同じく事実2を使うと、

$\frac{CE}{EA} = \frac{(\text{三角形BCEの面積})-(\text{三角形PCEの面積})}{(\text{三角形BAEの面積})-(\text{三角形PAEの面積})} = \frac{(\text{三角形BCPの面積})}{(\text{三角形BAPの面積})}$

三角形BCPは三角形PBCと同じ、三角形BAPは三角形PABと同じなので、

$\frac{CE}{EA} = \frac{S_A}{S_C} \tag{6}$

ステップ3:$\dfrac{AF}{FB}$ を面積の比で表す

同じ考え方を、頂点C、点F(辺AB上の点)、線分CFに当てはめます。

三角形CAFと三角形CBFは、共通の頂点Cを持ち、底辺AF、FBが直線AB上にあるので、

$\frac{AF}{FB} = \frac{(\text{三角形CAFの面積})}{(\text{三角形CBFの面積})}$

三角形PAFと三角形PBFも、共通の頂点Pを持ち、底辺AF、FBが直線AB上にあるので、

$\frac{AF}{FB} = \frac{(\text{三角形PAFの面積})}{(\text{三角形PBFの面積})}$

点Pは線分CF上にあるので、三角形CAFは点Pによって三角形CAPと三角形PAFに分けられ、三角形CBFは点Pによって三角形CBPと三角形PBFに分けられます。事実2を使うと、

$\frac{AF}{FB} = \frac{(\text{三角形CAFの面積})-(\text{三角形PAFの面積})}{(\text{三角形CBFの面積})-(\text{三角形PBFの面積})} = \frac{(\text{三角形CAPの面積})}{(\text{三角形CBPの面積})}$

三角形CAPは三角形PCAと同じ、三角形CBPは三角形PBCと同じなので、

$\frac{AF}{FB} = \frac{S_B}{S_A} \tag{7}$

ステップ4:3つの比をかけ合わせる

(5)、(6)、(7)で求めた3つの式をかけ合わせます。

$\frac{BD}{DC}\times\frac{CE}{EA}\times\frac{AF}{FB} = \frac{S_C}{S_B}\times\frac{S_A}{S_C}\times\frac{S_B}{S_A}$

右辺を計算すると、分子は $S_C\times S_A\times S_B$、分母は $S_B\times S_C\times S_A$ であり、これらは全く同じ3つの数の積なので、

$\frac{S_C\times S_A\times S_B}{S_B\times S_C\times S_A} = 1$

したがって、

$\frac{BD}{DC}\times\frac{CE}{EA}\times\frac{AF}{FB} = 1$

が証明されました。

この証明のポイント

「共通の頂点(または共通の高さ)を持つ三角形の面積比は底辺の比に等しい」という性質を使うと、線分の長さの比を、直接測らなくても面積の比に置き換えて扱えるようになります。さらに、「大きい三角形から小さい三角形を引く」という操作を使って、点Pを通る線分で分けられた三角形どうしの関係を作り出すテクニックは、メネラウスの定理など他の図形の比の証明でも応用できる考え方です。