部分積分法の公式の導出

証明する内容

関数 $f(x)$、$g(x)$ がともに微分可能で、かつ $f'(x)$, $g'(x)$ が積分できる関数であるとき、次の公式が成り立ちます。

$ \int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx $

これを部分積分の公式と呼びます。この公式は、「そのままでは積分しにくい積の形」を、「もう一方の積分に置き換える」ことで計算しやすくするために使われます。

証明

ステップ1: 積の微分公式を思い出す

まず、すでに証明されている積の微分公式を確認します。$f(x)$, $g(x)$ がともに微分可能であるとき、

$ \{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $

が成り立ちます。これは、積の微分公式のページで、微分の定義から証明されている事実です。

ステップ2: 両辺を $x$ で積分する

ステップ1の等式の両辺を、$x$ について不定積分します。左辺は、

$ \int \{f(x)g(x)\}'\,dx $

です。ここで、「ある関数を微分してからさらに積分する」という操作は、微分と積分が互いに逆の演算であることから、もとの関数に戻ります(積分定数の分だけの違いを除いて)。すなわち、

$ \int \{f(x)g(x)\}'\,dx = f(x)g(x) + C_1 $

($C_1$ は積分定数です。)

右辺は、和の積分として、それぞれの項を別々に積分したものの和になります。

$ \int \left(f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\right)dx = \int f'(x)g(x)\,dx + \int f(x)g'(x)\,dx $

したがって、ステップ1の等式の両辺を積分すると、

$ f(x)g(x) + C_1 = \int f'(x)g(x)\,dx + \int f(x)g'(x)\,dx $

という関係が得られます。

ステップ3: 式を整理する

不定積分どうしの計算では、積分定数はそれぞれの不定積分の中に含めて考える約束になっています。そこで、左辺の積分定数 $C_1$ を省略し(右辺の2つの不定積分にすでに、それぞれの積分定数が含まれているとみなします)、

$ f(x)g(x) = \int f'(x)g(x)\,dx + \int f(x)g'(x)\,dx $

と書くことにします。この式で、右辺の $\displaystyle\int f(x)g'(x)\,dx$ を左辺に移項します。

$ f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx = \int f'(x)g(x)\,dx $

左辺と右辺を入れ替えると、

$ \int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx $

これで、部分積分の公式が示されました。

定積分の場合について

上と同じ考え方は、定積分についても成り立ちます。区間 $[a,b]$ で $f(x)$, $g(x)$ が微分可能であるとき、微分積分学の基本定理により、

$ \int_a^b \{f(x)g(x)\}'\,dx = \Big[f(x)g(x)\Big]_a^b = f(b)g(b)-f(a)g(a) $

が成り立ちます。左辺を、積の微分公式を使って不定積分のときと同じように分けると、

$ \int_a^b f'(x)g(x)\,dx + \int_a^b f(x)g'(x)\,dx = \Big[f(x)g(x)\Big]_a^b $

これを移項すれば、定積分の場合の部分積分の公式

$ \int_a^b f'(x)g(x)\,dx = \Big[f(x)g(x)\Big]_a^b - \int_a^b f(x)g'(x)\,dx $

が得られます。

この証明のポイント

部分積分の公式は、新しい原理から導かれるものではなく、すでに知っている積の微分公式 $\{fg\}'=f'g+fg'$ を、両辺そのまま積分して式を整理しただけのものです。「微分の公式を積分すれば、それに対応する積分の公式が得られる」という発想は、他の積分公式を思い出したり導いたりするときにも役立つ考え方です。